Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной, горизонтальных и наклонной асимптот.
Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.
Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, т.е. Тогда прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции у = f(х).
Очевидно, что прямая х = х0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х0, так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.
Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции.
Замечание. Если конечен только один из пределов , то функция имеет соответственно левостороннюю либо правостороннююгоризонтальную асимптоту.
В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.
Теорема о наклонной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы . Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции.
Без доказательства.
Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней, если в базе соответствующих пределов стоит бесконечность определенного знака.
Исследование функций и построение их графиков обычно включает следующие этапы:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность-нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты, исследовав точки разрыва и поведение функции на границах области определения, если они конечны.
4. Найти горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в бесконечности.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Дата добавления: 2015-10-06; просмотров: 1977;