Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю.

Без доказательства.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рисунок 3.3).

Теорема Ролля. Пусть функция у = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [а, b];

2) дифференцируема на интервале ]а, b[;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a) = f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Без доказательства.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс (например, на рисунке 3.4 таких точек две).

Если f(a) = f(b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать по-другому: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Пусть функция у = f(х) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [а, b];

2) дифференцируема на интервале (а, b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка с, в кдторой производная равна частному от деления приращения функций на приращение аргумента на этом отрезке: .

Без доказательства.

Чтобы понять физический смысл теоремы Лагранжа, отметим, что есть не что иное, как средняя скорость изменения функции на всем отрезке [а, b]. Таким образом, теорема утверждает, что внутри отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой "мгновенная" скорость изменения функции равна средней скорости ее изменения на всем отрезке.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа проиллюстрирован рисунком 3.5. Отметим, что выражение представляет собой угловой коэффициент прямой, на которой лежит хорда АВ. Теорема утверждает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к нему будет параллельна этой хорде (т.е. угловой коэффициент касательной – производная – будет таким же).

Следствие: если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

В самом деле, возьмем на этом промежутке [a, b] промежуток [a, x]. По теореме Лагранжа в этом промежутке найдется точка с, для которой . Отсюда f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = const.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Иными словами, если имеется неопределенность вида , то .

Без доказательства.

Применение правила Лопиталя для нахождения пределов будет рассмотрено на практических занятиях.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Рассмотрим два значения х₁ и х₂ из данного промежутка (пусть х₂ > х₁). По теореме Лагранда на [х₁, х₂] существует точка с, в которой . Отсюда f(х₂) – f(x₁) = f `(с)( х<sub>2</sub> – x<sub>1</sub>). Тогда при f `(с) > 0 левая часть неравенства положительна, т.е. f(х₂) > f(x₁), и функция является возрастающей. При f `(с) < 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е. f(х₂) < f(x₁), и функция является убывающей

Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация условия монотонности функции: если касательные к кривой на некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс, то функция возрастает, а если под тупыми, то убывает (см. рисунок 3.6).

Замечание: необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке (т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю).