Понятие о дифференциалах высших порядков

Для дифференцируемой функции y = f(x) дифференциал dy = f `(x)dх, т.е. дифференциал функции есть функция от двух аргументов: х и dx. Будем полагать, что дифференциал независимой переменной dx имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х. В этом случае dy есть некоторая функция одной переменной х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d²y функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е. d²y=d(dy).

Аналогично дифференциалом n-го порядка (или n-м дифферен-циалом) dⁿy называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой функции, т.е: dⁿy =d(d^n-1y).

Найдем выражение для d²y. По определению d²y = d(dy) = d(f `(x)dх). Так как dx не зависит от х, т.е. по отношению к переменной х является постоянной величиной, то множитель dx можно вынести за знак дифференциала, т.е. d<sup>2</sup>y = dх*df `(x) = dх*[df `(x)]`dx = f ``(x)(dx)².

Итак, d²y = f ``(x)(dx)².

Можно доказать, что для дифференциала n-го порядка
dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ. Таким образом, дифференциал n-го порядка равен произведению производной n-го порядка на n-ю степень дифференциала независимой переменной.

Отметим, что дифференциалы второго и бодее высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы в отличие от дифференциала первого порядка.

[1] В отечественных учебниках иногда выпуклой называют только выпуклую вверх функцию, а выпуклую вниз функцию называют вогнутой. При этом в зарубежной англоязычной литературе принято, наоборот, называть выпуклой функцию, выпуклую вниз, а вогнутой – выпуклую вверх. Поэтому здесь и далее во избежание путаницы рекомендуется использовать термины выпуклости вверх или вниз.

[2] Это условие можно сформулировать и на основе второго достаточного условия экстремума, т.е. через третью производную.