Момент инерции. При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

. (4.5)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

, (4.6)

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди­натами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.4.6). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентриче­ские цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dI = r2 dm (так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек ци­линдра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrh dr. Если ρ - плотность материала, то dm = ρ·2πrh dr и dI = 2π ρhπr3dr . Тогда мо­мент инерции сплошного цилиндра

,

но так как πR2 h - объем цилиндра, то его масса m = πR2 , а момент инерции

.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи­тельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения О равен моменту его инерции IC относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С тела, сло­женному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a2 между осями:

I = IC + ma2. (4.7)

Приведем значения мо­ментов инерции (табл.1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

 

Таблица 1
Тело Положение оси вращения Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R Ось симметрии mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R То же 1/2mR2
Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину 1/12 ml2
Прямой тонкий стержень длиной l Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец 1/3 ml2
Шар радиусом R Ось проходит через центр шара 2/5 mR2

 








Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 604;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.