Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.4.9). Пусть сила приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии ά - угол между направлением силы и радиусом-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds = rdφ, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:
δA = F sinά rdφ .
Учитывая (4.1), можем записать δA = Mz dφ,
где Fr sinά = Fl = Mz - момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
δA = dWк,
но
dWк = d(Iz ω2/2) = Iz ω dω
поэтому
Mz dφ = Iz ω dω
или
.
Учитывая, что , получим
. (4.11)
Уравнение (4.11) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси.
Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство
,(4.12)
где I - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).
Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 653;