Двухполостный гиперболоид.

Если вращать гиперболу вокруг оси OZ, то в результате получим двухполостный гиперболоид вращения. (1) Если растянуть его по оси ОХ в к раз, то получим общий вид двухполостного гиперболоида. Его каноническое уравнение (2), где а=kb. Если пересекать двухполостный гиперболоид плоскостями z=h (h>c), в сечении получим эллипсы или , где , . При бесконечном возрастании h

и , эллипсы увеличиваются ; при h=c и =0, эллипсы стягиваются в точку; при <c. и имют мнимые значения, пересечений нет.

Если пересекать плоскостями x=h или y=h получим в сечении гиперболы или

Из сказанного ясно, что двухполостный гиперболоид состоит из двух бесконечных кусков - полостей, отстоящих одна от другой на 2с. Двухполостный гиперболоид имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости.

Конус.

Нетрудно доказать, что образующими общего конуса непременно являются прямые линии.

Докажем, что если некоторая точка лежит на конусе (2), то и вся прямая , проходящая через М и О лежит на конусе.

Пусть М имеет координаты (m,n,l). Тогда вектор является направляющим вектором прямой . Точка О(0,0,0) лежит на прямой. Поэтому параметрическое уравнение прямой x=mt, y=nt, z=lt. (3) Т.к. точка М лежит на конусе, то её координаты удовлетворяют уравнению (2): .

Возьмём точку N(x,y,z) на ОМ. (xyz) выразятся уравнениями (3). Но тогда . Значит и т. N прямой OM конусу.