Аннуитет и его стоимость

Аннуитетом называется серия равновеликих платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определенного количества лет. Величина отдельного платежа называется элементом аннуитета (R).

Примером аннуитета могут быть регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам и т. д.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, называется аннуитетом пренумерандо.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в конце соответствующих интервалов, называется аннуитетом постнумерандо.

Рассмотрим процессы определения наращенной и настоящей стоимости аннуитета постнумерандо. Наращенная стоимость аннуитета – это сумма всех его элементов с начисленными на них процентами.

Принцип временного аспекта ценности денег делает не корректным прямое суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяются правила компаундирования (наращения) и дисконтирования с методикой начисления только сложных процентов, то есть предполагается, что получатель потока платежей имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы.

Допустим, имеется поток платежей постнумерандо (рис. 3.1).

Как видно из рис. 3.1, платеж, совершенный в конце первого года, к концу периода аннуитета возрастет в раз и превратится в сумму и т. д.

Рисунок 3.1 – Наращенная стоимость аннуитета постнумерандо

Наращенная стоимость аннуитета может быть определена прямым счетом по формуле:

. (3.5)

Поскольку по определению аннуитета R₁ = R₂ = … = R_n , то, обозначив величину отдельного платежа (элемента) через R, получим:

. (3.6)

Однако использование данной формулы в практических расчетах при значительном периоде аннуитета весьма трудоемко. Поэтому данную формулу необходимо упростить и в результате получим:

, (3.7)

где FVA – наращенная стоимость всего аннуитета (сумма всех платежей с процентами), ден. ед.;

R – величина каждого отдельного платежа, ден. ед.;

i – процентная ставка, %;

n – число платежей;

Данная формула значительно упрощает наращенной стоимости аннуитета. Коэффициент наращения аннуитета имеет вид:

. (3.8)

Данный коэффициент может быть найден по таблице, представленной в приложении В.

Современная стоимость аннуитета – это сумма современных стоимостей элементов аннуитета. Современная стоимость элемента аннуитета определяется дисконтированием его величины на начало периода аннуитета.

Допустим, имеется поток платежей постнумерандо (рис. 3.2):

Рисунок 3.2 – Современная стоимость аннуитета постнумерандо

Путем преобразований получим формулу для расчета современной стоимости аннуитета:

. (3.9)

Коэффициент дисконтирования аннуитета будет иметь вид:

. (3.10)

Коэффициент дисконтирования аннуитета также может быть найден по таблице, представленной в приложении Г.