Оценка точности вычисления генеральной средней по данным выборки

Обозначим точность приближенного равенства буквой e. Тогда определение точности вычисления генеральной средней по данным выборки сведется к определению вероятности a, т. е. вероятности того, что истинное значение находится в пределах , где e ]> 0, т. е.

Для определения вероятности a пользуются распределением величины t:

Если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то величина t при любом п следует закону распределения Стьюдента, который имеет следующее выражение:

где - дифференциальная функция распределения t;

— постоянный множитель, зависящий только от числа степеней свободы k = п— 1. Символом Г (k) здесь обозначена гамма-функция (интеграл Эйлера):

Из выражения (77) следует, что распределение Стьюдента зависит только от переменной t и параметра k = п — 1. Поэтому когда задана вероятность a, то можно найти такое положительное число t_a, которое будет зависеть только от aи п по равенству

Учитывая, что , левую часть этого равенства можно преобразовать так:

Следовательно,

(79)

Полагая , получим

Таблица значений t_a, определяемых этим равенством, приведена в справочной литературе. При помощи этой таблицы можно определить одно из трех значений: вероятность a, точность e или объем выборки п, задаваясь предварительно значениями каких-либо двух из этих величин.

Все изложенное об оценке точности и вероятности вычисления генеральной средней по выборочной средней является справедливым только для случаев, когда выборки берутся из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение случайной величины х или когда распределение х в генеральной совокупности не очень сильно отличается от нормального. Если же распределение х в генеральной совокупности сильно отличается от нормального, то в этом случае вероятность a и точность e приближенного равенства можно определить только для больших выборок с помощью формул (81) и (82), но полученные значения a и e не будут точными, а будут носить лишь приближенный характер.