Нахождение корней уравнения
Рассмотрим решение уравнения вида f(x)=0.
Если f(x) является многочленом n-ой степени, т.е. уравнение имеет вид аnxn+аn-1xn-1+…+ а1x+ а0=0, то у него n корней. Все корни находятся в диапазоне [–k;k], где k вычисляется по формуле
k=max(|ai|)/an.
Для нахождения корней с помощью Excel нужно:
1) Вычислить k;
2) Заполнить последовательность значений переменной х в диапазоне [–k;k] с каким-нибудь небольшим шагом;
3) Вычислить значение функции f(x) при каждом х (с помощью маркера заполнения);
4) Построить график функции f(x) (точечную диаграмму);
5) По графику функции или по таблице ее значений определить значения приближенных корней уравнения и ввести их в свободные ячейки ЭТ;
6) Вычислить значение функции от найденных приближенных значений корней уравнения;
7) Выполнить для каждого корня команду Сервис – Подбор параметра, установив в окне «Подбор параметра» следующие значения:
поле “Установить в ячейке” – ячейка со значением f(x),
поле “Значение” – 0,
поле “Изменяя значение ячейки” – ячейка со значением приближенного корня.
То есть добьемся того, чтобы значение функции f(x) равнялось нулю, подбирая точное значение корня х, близкое к приближенному значению.
Пример
Решить уравнение х3+х2–2х–1=0.
В нашем примере максимальный по модулю коэффициент уравнения равен 2, а коэффициент при х3 равен 1, следовательно, k=2, интервал, в котором лежат все корни уравнения, равен [–2;2].
Составим таблицу значений функции y = х3+х2–2х-1, хÎ[–2;2] с шагом 0,4 и построим график этой функции.
По графику функции или по значениям функции в таблице можно определить интервалы, в которых лежат корни уравнения (по одному корню в каждом интервале). Если значения f(a) и f(b) функции f(х) имеют разные знаки, то в интервале [a;b] лежит корень уравнения f(х)=0. В нашем примере эти интервалы следующие: [–2;–1,6], [–0,8;–0,4], [1,2;1,6].
Запишем в качестве начальных приближений корней числа –1,8; –0,6 и 1,4 (середины найденных интервалов) в ячейки С2, С3 и С4. В ячейку D2 введем формулу =С2^3+C2^2-2*C2-1, скопируем эту формулу с помощью маркера заполнения в ячейки D3 и D4. Таким образом, мы вычислили значения функции y = х3+х2–2х–1 от приближенных значений корней этой функции.
Напомним, что если х1 – корень функции y(x), то значение функции в корне – y(x1) – равняется нулю.
Теперь выделим ячейку D2 и выполним команду Сервис – Подбор параметра горизонтального меню. В появившемся диалоговом окне запишем следующие: в поле “Установить в ячейке” введем D2, в поле “Значение” введем число 0, в поле “Изменяя значение ячейки” введем С2. То есть добьемся того, чтобы значение функции y(x) равнялось нулю, подбирая точное значение корня х, приближенное значение которого записано в ячейке С2.
Вводить ссылки на ячейки D2 и С2 в поля диалогового окна можно и с помощью мыши, щелкнув левой кнопкой мыши по соответствующей ячейке таблицы. При этом Excel автоматически превращает ссылки в абсолютные ($C$2).
После того как вы ввели все данные в диалоговом окне “Подбор параметра”, нажмите кнопку ОК, Excel найдет точное значение корня с учетом относительной погрешности и предельного числа итераций, которые вы установили ранее, и запишет его в ячейку С2.
Число 2,29Е-06 в ячейке D2 записано в экспоненциальной форме и означает 2,29×10-6, то есть 0,00000229. Учитывая относительную погрешность 0,00001, можно сказать, что это ноль, следовательно, корень найден и он равен –1,80194.
Аналогично в ячейках С3 и С4 можно получить значения двух других корней нашего уравнения.
Итак, корни уравнения х3+х2–2х–1 = 0 равны:
х1 = –1,80194; х2 = –0,44504; х3 = 1,24698.
Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке “Вычисления” диалогового окна “Параметры”, открываемого командой Сервис – Параметры.Зададим относительную погрешность 0,00001 и предельное число итераций 1000.
Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 2025;