Вычисление площадей поверхности тела вращения

B

А

х

Определение. Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками . Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты и . При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна . Эта площадь может быть найдена по формуле:

.

Здесь – длина каждой хорды. Следовательно,

Применяя теорему Лагранжа к отношению , получим:

.

Тогда ,

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

.

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

.

Получаем формулу вычисления площади поверхности тела вращения.