Формула парабол
(формула Симпсона или квадратурная формула).
Разделим отрезок интегрирования на четное число отрезков . Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями , , . Для каждой пары отрезков построим такую параболу.
0 х
Уравнения этих парабол имеют вид , где коэффициенты могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.
(6.1)
Обозначим .
.
Если принять , то (6.2)
Тогда уравнения значений функции (6.1) имеют вид:
C учетом этого: .
Отсюда уравнение (6.2) примет вид: .
Тогда
Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:
.
Чем больше взять число , тем более точное значение интеграла будет получено.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:
m | |||||||||||
x | -2 | -1 | |||||||||
f(x) | 2.828 | 3.873 | 4.123 | 4.899 | 6.557 | 8.944 | 11.874 | 15.232 | 18.947 | 22.978 |
Точное значение этого интеграла – 91.173.
Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.
Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.
Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд.
Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.
Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл
.
Так как интегрирование производится в окрестности точки , то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.
Разложение функции имеет вид:
.
Зная разложение функции легко найти функцию :
.
Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение:
.
Теперь представим наш интеграл в виде:
.
Применим теорему о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).
Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится равномерно на отрезке интегрирования .
Таким образом
Получаем:
Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.
Более точное значение этого интеграла: 0,2482725418…
5.3 Геометрические приложения определённого интеграла
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 869;