Производных высших порядков

Пусть в точке и существует и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Теорема. Если , то функция в точке имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство. Пусть и . Так как функция непрерывна, то будет отрицательна в некоторой достаточно малой окрестности точки .

Так как , то убывает на интервале, содержащем точку , но , т.е. при и при . Это и означает, что при переходе через точку производная меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если , то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.