Ньютона
Выражения, составленные из чисел и переменных, связанных действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, называются алгебраическими выражениями.
При выполнении преобразований алгебраических выражений используются формулы сокращенного умножения:
– квадрат суммы;
– квадрат разности;
– разность квадратов;
– куб суммы;
– куб разности;
– сумма кубов;
– разность кубов.
Формулы разности квадратов и разности кубов обобщаются на любой натуральный показатель:
Формула суммы кубов обобщается на любой нечетный показатель:
Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона:
(2.1)
Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются биномиальными коэффициентами.
Биномиальные коэффициенты можно вычислять, используя схему, которая называется треугольником Паскаля. Все строки начинаются и заканчиваются единицей, каждый внутренний элемент строки равен сумме двух соседних элементов в предыдущей строке, стоящих над искомым элементом:
Показатель степени
(2.2)
Числа в строке с определенным номером n, n ÎN, являются последовательными коэффициентами в формуле для данного n.
Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:
1) в разложении двучлена 
по формуле Ньютона содержится n + 1 член;
2) в разложении 
показатель степени а убывает от n до 0, а показатель степени b возрастает от 0 до n;
3) сумма показателей степеней a и b в каждом члене равна n;
4) биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой;
5) сумма биномиальных коэффициентов разложения 
равна 2n;
6) сумма биномиальных коэффициентов членов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, и равна 
Разложение 
выполняется по тем же правилам с учетом чередования знаков: «+», «–», «+», «–», «+» … и т. д.
Пример 1.Вычислить, используя формулы сокращенного умножения, значение выражения
Решение. Используем формулу разности квадратов. Заданное выражение приобретает вид:
Пример 2. Известно, что 
и 
Квадратом какого натурального числа является значение 
Решение. Так как 
выражаем: 
Далее получаем: 
Если обозначить искомое число через х, то 
т. е. 
Поскольку 
то в качестве ответа подходит 
Пример 3. Вычислить значение выражения
при у = 1,6, х = –1,4.
Решение. Упростим выражение, используя формулы суммы кубов и разности квадратов:
При y = 1,6 и x = –1,4полученное выражение будет равно
Пример 4. Разложить выражение 
по формуле бинома Ньютона.
Решение. Используем формулу бинома Ньютона (2.1) и треугольник Паскаля (2.2) с учетом n = 5.
Разложение будет иметь вид:
Пример 5.Упростить выражение 
используя формулы сокращенного умножения, а затем вычислить его значение для 
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на 
и используем формулу (2.1). Получаем
Далее используем формулу разности кубов:
Если 
то
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 1418;