Уравнения высших степеней
Уравнение вида
(3.1)
где 
называется уравнением n-й степени.
Если 
уравнение 
называется линейным.
Если 
уравнение 
называется квадратным.
Если 
уравнение называется однородным.
Основными методами решения уравнений типа (3.1) при 
являются:
1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (3.1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;
2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (3.1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;
3) поиск корней среди делителей свободного члена.
Рассмотрим некоторые виды уравнений (3.1) и их решения.
Уравнения вида 
решаются вынесением общего множителя 
за скобки:
и сведением к совокупности:
Уравнение вида
(3.2)
решается заменой 
Получаем уравнение 
которое решается, как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.
При 
уравнение (3.2) имеет вид:
– биквадратное уравнение.
Уравнение
(3.3)
где 
сводится к биквадратному уравнению заменой 
Уравнение
(3.4)
где 
и А таковы, что 
и 
сводится к биквадратному уравнению заменой
или при 
к уравнению
заменой
Уравнение
(3.5)
где 
и 
делением на 
(так как 
– не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:
далее заменой 
оно сводится к квадратному уравнению.
Уравнение
где 
и А таковы, что 
сводится к уравнению вида (3.5) после попарного перемножения выражений в скобках:
Уравнения вида
(3.6)
где 
называются симметрическими уравнениями третьей степени.
Так как
то уравнение (3.5) равносильно совокупности уравнений:
Уравнения вида
(3.7)
где 
называются симметрическими уравнениями четвертой степени.
Так как 
не является корнем уравнения (3.7), то деление обеих частей уравнения (3.7) на 
приводит его к уравнению
или
Далее заменяем 
и сводим его к квадратному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение 
Решение. Выносим общий множитель за скобки:
Получаем совокупность уравнений
Ее решение дает три корня:
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Заменяем 
и приходим к уравнению
Последнее уравнение имеет корни:
Возвращаемся к переменной х:
Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:
Пример 3.Решить уравнение 
Решение. Задано уравнение вида (3.3). Заменяем
т. е. 
Подставим это значение в заданное уравнение:
После упрощения имеем:
Дополним до полного квадрата суммы:
После упрощения уравнение приобретает вид:
т. е. 
Его решением является лишь 
Возвращаясь к переменной х, получим 
что приводит к ответу: 
Пример 4.Решить уравнение 
Решение. Имеем уравнение вида (3.4).
Так как 
то перемножим выражения во 2-й и 3-й скобках. Получим:
Заменяем 
Поскольку 
приходим к уравнению
Решая его как квадратное, получим корни:
Возвращаемся к переменной х:
Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, так как 
а второе имеет корни 
что и будет ответом.
Пример 5.Решить уравнение
Решение. Имеем уравнение вида (3.5). Поскольку 
не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на 
Получаем
Введем замену 
которая приводит к уравнению
т. е. 
Находим корни 
и возвращаемся к переменной х:
Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений:
т. е. 
Получаем в совокупности 4 корня:
Пример 6.Решить уравнение 
Решение. Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена 16:
Подстановкой находим, что 
– корень этого многочлена. Следовательно, многочлен разделится нацело на 
Воспользуемся правилом «деления углом»:
Данное уравнение равносильно уравнению
решение которого сводится к совокупности
Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень 
Пример 7.Решить уравнение 
Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (3.7). Поскольку 
не является его корнем, то делим это уравнение почленно на 
Приходим к уравнению
Заменяем
соответственно,
и 
Приходим к уравнению вида
т. е. 
Находим корни:
и возвращаемся к переменной х:
После упрощения получаем:
При этом первое уравнение последней совокупности не имеет корней, а второе имеет два корня:
что и является ответом.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 1409;