Уравнения высших степеней
Уравнение вида
(3.1)
где называется уравнением n-й степени.
Если уравнение называется линейным.
Если уравнение называется квадратным.
Если уравнение называется однородным.
Основными методами решения уравнений типа (3.1) при являются:
1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (3.1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;
2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (3.1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n;
3) поиск корней среди делителей свободного члена.
Рассмотрим некоторые виды уравнений (3.1) и их решения.
Уравнения вида решаются вынесением общего множителя за скобки:
и сведением к совокупности:
Уравнение вида
(3.2)
решается заменой Получаем уравнение которое решается, как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.
При уравнение (3.2) имеет вид:
– биквадратное уравнение.
Уравнение
(3.3)
где сводится к биквадратному уравнению заменой
Уравнение
(3.4)
где и А таковы, что и сводится к биквадратному уравнению заменой
или при к уравнению
заменой
Уравнение
(3.5)
где и делением на (так как – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:
далее заменой оно сводится к квадратному уравнению.
Уравнение
где и А таковы, что сводится к уравнению вида (3.5) после попарного перемножения выражений в скобках:
Уравнения вида
(3.6)
где называются симметрическими уравнениями третьей степени.
Так как
то уравнение (3.5) равносильно совокупности уравнений:
Уравнения вида
(3.7)
где называются симметрическими уравнениями четвертой степени.
Так как не является корнем уравнения (3.7), то деление обеих частей уравнения (3.7) на приводит его к уравнению
или
Далее заменяем и сводим его к квадратному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Выносим общий множитель за скобки:
Получаем совокупность уравнений
Ее решение дает три корня:
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Заменяем и приходим к уравнению
Последнее уравнение имеет корни:
Возвращаемся к переменной х:
Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:
Пример 3.Решить уравнение
Решение. Задано уравнение вида (3.3). Заменяем
т. е. Подставим это значение в заданное уравнение:
После упрощения имеем:
Дополним до полного квадрата суммы:
После упрощения уравнение приобретает вид:
т. е.
Его решением является лишь
Возвращаясь к переменной х, получим что приводит к ответу:
Пример 4.Решить уравнение
Решение. Имеем уравнение вида (3.4).
Так как то перемножим выражения во 2-й и 3-й скобках. Получим:
Заменяем
Поскольку приходим к уравнению
Решая его как квадратное, получим корни:
Возвращаемся к переменной х:
Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, так как а второе имеет корни что и будет ответом.
Пример 5.Решить уравнение
Решение. Имеем уравнение вида (3.5). Поскольку не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на Получаем
Введем замену которая приводит к уравнению
т. е.
Находим корни и возвращаемся к переменной х:
Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений:
т. е.
Получаем в совокупности 4 корня:
Пример 6.Решить уравнение
Решение. Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена 16:
Подстановкой находим, что – корень этого многочлена. Следовательно, многочлен разделится нацело на
Воспользуемся правилом «деления углом»:
Данное уравнение равносильно уравнению
решение которого сводится к совокупности
Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень
Пример 7.Решить уравнение
Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (3.7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на Приходим к уравнению
Заменяем
соответственно,
и
Приходим к уравнению вида
т. е.
Находим корни:
и возвращаемся к переменной х:
После упрощения получаем:
При этом первое уравнение последней совокупности не имеет корней, а второе имеет два корня:
что и является ответом.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 1393;