Завдання. У сталеплавильній печі відбувається нагрів металевої заготівки, що має форму циліндра діаметром D

У сталеплавильній печі відбувається нагрів металевої заготівки, що має форму циліндра діаметром D. В процесі нагріву температура заготівки рівномірно зростає від t₁ до t₂ протягом часу t.

Приклад розв’язання задачі

Дано:

D = 1780 мм =1,78 м; τ = 140 мин = 8400 с; А _Т = 0,8

t₁ = 500 ^oC; t₂= 1550 ^oC; t₃ = 600 ^oC

Знайти:

1. Енергію теплового випромінювання W за час τ з поверхні підстави циліндричної заготовки.

2. Масу m всіх випромінюваних фотонів за той же час.

3. Довжину хвилі λ_m, на яку приходиться максимальне значення спектральної густини енергетичної світимості R_λ,Т при температурі t₃ .

4. Частоту n, масу m₁ і імпульс р фотона, що характеризується довжиною хвилі λ_m .

5. Кількість фотонів n, які випускаються поверхнею металу за 1 секунду при температурі t₃. При розрахунку брати до уваги лише ті фотони, довжини хвилі яких лежать в інтервалі λ_m ± Δ0,01 λ_m .

Металеву заготівку вважати сірим тілом, поглинальна здатність якого рівна А_Т .

Згідно закону Стефана-Больцмана енергетична світимість абсолютно чорного тіла рівна:

R^*=σ×T⁴, (1)

де σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²К⁴) - стала Стефана-Больцмана, Т - абсолютна температура.

Для сірого тіла цей закон записується так:

R= А_Т×σ×T⁴ , (2)

де А _Т - поглинальна здатність тіла.

В процесі нагрівання температура тіла безперервно міняється. Тому енергія, що випускається поверхнею заготівки S за час τ, дорівнює:

(3)

Якщо температура металу за час τ зростає по лінійному закону від Т₁ до Т₂, то залежність Т(t) можна представити у вигляді:

, (4)

де – швидкість зростання температури.

Підставивши (4) в (3), отримаємо:

Проведемо заміну змінних:

При t = 0 х = Т₁, а при t= τ х = Т₂ .

Тоді можна записати:

В результаті інтегрування отримаємо:

(5) Перевірка одиниць вимірювань:

Обчислимо значення площі поверхні металу:

Значення абсолютних температур Т₁ і Т₂ відповідно рівні:

Т₁ =t₁+273 = 500+273 = 773 К

Т₂ =t₂+273 = 1550+273 = 1823 К

Використовуючи формулу (5), визначимо енергію теплового випромінювання:

Масу фотонів, що випускаються поверхнею металу за час τ, визначимо, використовуючи закон пропорційності енергії і маси

W=m×c²(6)

де с = 3·10⁸ м/с - швидкість світла.

Довжину хвилі λ_m , відповідну максимальному значенню спектральної густини енергетичної світимості R_l,Т при температурі t₃, визначимо, використовуючи закон зміщення Віна:

(7)

Здесь b = 2,9·10^-3 м·К - стала Вина, Т₃ = t₃ + 273 = 600+273 = 873 К

Частота випромінювання ν, відповідна довжині хвилі λ_m, дорівнює:

Масу одного фотона m₁ визначимо із співвідношення:

m₁×c² = h×ν , (8)

де m₁×c² – енергія фотона, визначена по релятивістській формулі,

h×ν - енергія фотона, визначена по формулі Планка,

h - стала Планка, рівна 6,63·10^-34 Дж·с.

Імпульс фотона p визначимо з формули де Бройля:

Кількість фотонів n, що випускаються поверхнею металу в одиницю часу при температурі t₃ в інтервалі довжин хвиль λ_m ± Δ0,01λ_m, можна визначити із співвідношення:

, (9)

де вираз є потужністю випромінювання з одиниці поверхні, що доводиться на інтервал довжин хвиль λ_m ± Δ0,01 λ_m .

Величина R^*_l,T є спектральною випромінювальною здатністю абсолютно чорного тіла.

Оскільки інтервал Δλ_m малий в порівнянні з λ_m, то інтеграл можна замінити вираженням 2×Δλ_m×(R^*_λ,Т)_m , де (R^*_λ,Т)_m - максимальне значення спектральної випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла.

Величину ×(R^*_λ,Т)_m можна знайти двома способами.

1. За формулою Планка:

(10)

2. По другому закону Вина:

(R^*_λ,Т)_m =С₁×Т⁵ , (11)

де С₁ – константа, рівна 1,3·10^-5 Вт/(м³К⁴).

Проведемо обчислення (R^*_λ,Т)_m по формулі (11) для температури Т₃:

(R^*_λ,Т)_m = 1,3·10 ^-5 ·873 ⁵ = 6,59·10⁹ Вт/м³

Формула (9) прийме остаточний вигляд:

По цій формулі проведемо обчислення n , враховуючи, що Δλ_m = 0,01λ_m .

Завдання 2.

1. Номер варіантувизначається по таблиці, представленій на стор. 4.

2. Для виконання завдання відповідно до свого варіанту використовуйте початкові дані, представлені в наступній таблиці:

Завдання:

Дане завдання пов'язане з явищем фотоефекту, яким називається випускання електронів речовиною під дією світла. На малюнку приведена схема для дослідження фотоефекту. Світло падає на поверхню металевої пластини (фотокатода), вибиваючи при цьому електрони, які під дією сил електричного поля рухаються до анода. Таким чином в колі з'являється електричний струм.