Квантование. Вводные замечания

Квантование – это процесс перехода от континуального множества значений сигнала к дискретному множеству, объем которого равен количеству уровней квантования.

Равномерное (линейное) квантование. Рассмотрим рис. 22, на котором изображены L уровней квантования аналогового сигнала с полным диапазоном напряжений, равным вольт. Квантованные импульсы могут иметь положительные и отрицательные значения. Шаг между уровнями квантования, называемый интервалом квантования, составляет q вольт. Если уровни квантования равномерно распределены по всему диапазону, устройство квантования именуется равномерным, или линейным. Каждое дискретное значение аналогового сигнала аппроксимируется квантованным импульсом: аппроксимация дает ошибку, не превышающую q/2 в положительном направлении или -q/2 в отрицательном. Таким образом, ухудшение сигнала вследствие квантования ограничено половиной квантового интервала, ±q/2 вольт.

Рис.22. Уровни квантования

Хорошим критерием качества равномерного устройства квантования является его дисперсия (средний квадрат ошибки при подразумеваемом нулевом среднем, где – квантованный отсчет, – квантуемый отсчет). Если считать, что ошибка квантования е равномерно распределена в пределах интервала квантования шириной q (т.е. принимает все возможные значения с равной вероятностью), то дисперсия ошибок для устройства квантования составляет

, (1)

где р(е) = 1/q при –q/2<q<q/2 и0длядр.q – плотность вероятностей ошибки квантования.

Дисперсия σ² соответствует средней мощности шума квантования. Пиковую мощность аналогового сигнала (нормированную на 1 Ом) можно выразить как

, (2)

где L -число уровней квантования. Объединение выражений (1) и (2) дает отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности квантового шума :

(3),

где N= σ² — средняя мощность шума квантования. Очевидно, что отношение сигнал/шум квадратично растет с числом уровней квантования. В пределе (L→∞)сигнал становится аналоговым (бесконечное число уровней квантования и нулевой шум квантования). Отметим, что для случайных сигналов в параметр входит не максимальная, а средняя мощность сигнала. В этом случае для получения средней мощности сигнала требуется знать функцию плотности вероятности.

Неравномерное (нелинейное) квантование.Линейные устройства квантования легко реализовать и легко понять – в этом их очевидное достоинство. Вместе с тем, выбор параметров устройств равномерного квантования не предполагает никаких знаний о статистике амплитуд и корреляционных свойствах входного сигнала.

Нелинейные устройства квантования, обеспечивающие неравномерное квантование, применяются тогда, когда возникает желание учесть статистику амплитуд и корреляционные свойства входного сигнала.

Существуют приложения, для которых равномерные устройства квантования являются наилучшими. Это – обработка музыкальных сигналов, обработка изображений, контроль процессов и ряд других. Для некоторых иных приложений более приемлемы неравномерные квантующие устройства. Важнейшим примером такого рода является обработка речевых сигналов в системах связи.

Передача речи – это очень важная и специализированная область цифровой связи. Человеческая речь характеризуется уникальными статистическими свойствами, одно из которых проиллюстрировано на рис. 23.

Рис. 23. Статистическое распределение амплитуд речи одного лица

На оси абсцисс отложены амплитуды сигнала, нормированные на среднеквадратическое значение величины таких амплитуд в типичном канале связи, а на оси ординат – вероятность. Для большинства каналов речевой связи доминируют очень низкие уровни сигналов: 50% времени напряжение, характеризующее энергию обнаруженной речи, составляет менее четверти среднеквадратического значения. Значения с большими амплитудами встречаются относительно редко: только 15% времени напряжение превышает среднеквадратическое значение.

При передаче речи система с равномерным квантованием будет неэкономной – многие уровни квантования будут использоваться довольно редко. Кроме того, в такой системе шум квантования будет одинаковым для всех амплитуд сигнала. Следовательно, при таком квантовании отношение сигнал/шум будет хуже для сигналов низких уровней, чем для сигналов высоких уровней.

Неравномерное квантование может обеспечить лучшее квантование слабых сигналов и грубое квантование сильных сигналов. Значит, в этом случае шум квантования может быть пропорциональным сигналу. Результатом является повышение общего отношения сигнал/шум – уменьшение шума для доминирующих слабых сигналов за счет повышения шума для редко встречающихся сильных сигналов. На рис. 24 сравнивается квантование слабого и сильного сигналов при равномерном и неравномерном квантовании. Ступенчатые сигналы представляют собой аппроксимации аналоговых сигналов (после введения искажения вследствие квантования).

Рис. 24. Равномерное и неравномерное квантование сигналов

Одним из способов получения неравномерного квантования является использование устройства с неравномерным квантованием с характеристикой, показанной на рис. 25.а. Гораздо чаще неравномерное квантование реализуется следующим образом: вначале исходный сигнал деформируется с помощью устройства, имеющего логарифмическую характеристику сжатия, показанную на рис. 25.б,а потом используется устройство квантования с равномерным шагом. Для сигналов малой амплитуды характеристика сжатия имеет более крутой фронт, чем для сигналов большой амплитуды. Следовательно, изменение данного сигнала при малых амплитудах затронет большее число равномерно размещенных уровней квантования, чем такое же изменение при больших амплитудах. Характеристика сжатия эффективно меняет распределение амплитуд входного сигнала, так что на выходе системы сжатия уже не существует превосходства сигналов малых амплитуд. После сжатия деформированный сигнал подается на вход равномерного (линейного) устройства квантования с характеристикой, показанной на рис. 25.в. После приема сигнал пропускается через устройство с характеристикой, обратной к показанной на рис. 25.б и называемой расширением, так что общая передача не является деформированной. Описанная пара этапов обработки сигнала (сжатие и расширение) в совокупности обычно именуется компандированием.

В Северной Америке μ – уровневая характеристика устройства сжатия описывается следующим законом:

, (4)

где ; μ – положительная константа; x и y – напряжения на входе и выходе; x_max и y_max – максимальные амплитуды напряжений на входе и выходе.

В Европе для описания характеристики устройства сжатия используется несколько иной закон:

(5)

Здесь A – положительная константа, а x и y определены так же, как и в формуле (4).

Рис. 25. Примеры характеристик:

а) характеристика неравномерного устройства квантования;

б) характеристика сжатия; в) характеристика равномерного устройства квантования

Вид характеристик (4) и (5) приведен на рис. 26

Рис. 26. Характеристики устройств сжатия:

а) для различных значений μ; б) для различных значений A

Математическое описание процедуры квантования. Процедуру квантования описывают с помощью вектора (размерностью L-1) разделения области определения сигнала P₁,P₂,…,P_L-1 (vector partition) и вектора (размерностью L) значений кодированного сигнала C₁,C₂,…,C_L (codebook). Если x – текущее значение сигнала, тогда на выход квантователя выдаются значения по правилу, приведенному в табл. 1:

Таблица 1

Соответствие входного сигнала x и выхода квантователя y

Вход x	Выход y
…	…

Моделировать квантование в соответствии с табл. 1 можно двумя способами:

- В MATLAB, с помощью специальной m-функции;

- В Simulink, с помощью блока Sampled Quantizer Encode.