Наложение и спектры дискретных сигналов

Предположим, мы выполнили дискретизацию сигнала в определенной временной области с интервалом T (в секундах) (т.е. частота дискретизации равна 1/T (в герцах)). Видно (рис. 44), что в исходном сигнале есть еще одна частотная составляющая с таким же набором дискретных значений. Следовательно, этот частотный компонент можно ошибочно принять за компонент с более низкой частотой. Это и есть наложение. С точки зрения анализа следствий или поиска решения задачи наложения исследовать наложение лучше в частотных координатах.

Рис. 44. Пример наложения во временных координатах. Обратите внимание на то, что оба сигнала имеют одинаковые значения в одних и тех же точках, хотя их частоты различны

На рис. 45 показан процесс дискретизации, который можно рассматривать как умножение аналогового сигнала x(t) на выборочную функцию p(t). Функция p(t) состоит из импульсов единичной амплитуды с шириной dt (бесконечно малой величиной) и периодом Т. Спектр сигнала x(t), функция p(t) и их произведение показаны на рис. 2.5. Заметим, что X'(f) – это свертка X(f) и P(f), следовательно, умножение во временных координатах эквивалентно свертке в частотных координатах.

Для дискретного сигнала (рис. 45, г) следует отметить такие моменты:

- Спектр идентичен исходному аналоговому спектру, только повторяется в точках, кратных частоте дискретизации F_s. Компоненты более высокого порядка с центрами в точках, кратных F_s, называются зеркальными частотами.

- Если частота дискретизации F_s недостаточно высока, то зеркальные частоты с центром в F_s будут, например, накладываться на частоты основной полосы. В этом случае полезную информацию, содержащуюся в сигнале, невозможно отличить от его образа в области наложения.

- Перекрывание (или наложение) происходит в районе точки F_N, равной половине частоты дискретизации. Эту точку часто называют максимальной частотой сигнала, частотой Найквиста, частотой Котельникова и т.п.

На практике наложение существует всегда, из-за шума и наличия энергии сигнала за пределами полосы частот, которая представляет интерес. Поэтому задача разработчика – определить уровень допустимого наложения, создать подходящий фильтр защиты от наложения спектров и выбрать подходящую для этого частоту дискретизации.

Рис. 45. Описание процесса дискретизации во временной и частотной областях. Сравните спектры сигнала

до (б) и после (г) дискретизации. Обратите внимание на изменения в дискретном сигнале и, в частности,

на то, что спектр дискретного сигнала повторяется в точках, кратных частоте дискретизации Fs