Примеры. Задача 1. В партии товара 80% изделий стандартны

Задача 1. В партии товара 80% изделий стандартны. Случайным образом отобрано пять изделий. Найти вероятность того, что три из них стандартны; стандартных не менее трех; стандартно хотя бы одно.

Каково наивероятнейшее число стандартных изделий и соответствующая ему вероятность?

Решение: Обозначим: событие А — взятое изделие стандартно. По условию ; ;

а)

Так как число повторных испытаний , применим формулу Бернулли.

Таким образом,

.

б) , то есть .

;

– найдено выше.

.

.

.

.

Найдем наивероятнейшее число

;

.

Единственное целое число из этого промежутка равно 4.

Итак, ему соответствует вероятность: - она была найдена выше.

Ответ: .

Задача 2. Вероятность того, что изделие прослужит гарантийный срок, равна 0,9. Организация закупила 60 изделий. Найти вероятность того, что прослужит гарантийный срок: а) половина всех изделий; б) не менее 52 и не более 58 изделий; в) хотя бы одно изделие.

Каково наивероятнейшее число изделий, которые прослужат гарантийный срок? Чему равна его вероятность?

Решение: Дано .

Так как , то применим формулы Лапласа.

а) . По локальной формуле Лапласа находим:

, где .

По таблице приближения 1: . Здесь учтено, что функции - четная. Тогда .

б) . По интегральной формуле Лапласа

, где , .

Значения и округляем до двух знаков после запятой.

По таблице приложения 2 находим значения функции , учитывая, что она нечетная:

;

.

Таким образом.

.

в) .

По локальной формуле Лапласа найдем:

,

так как по таблице приложения 1: .

Если вероятность события равна нулю, оно называется НЕВОЗМОЖНЫМ. Отсюда следует, что , то есть это событие обязательно произойдет, оно называется ДОСТОВЕРНЫМ.

Наивероятнейшее число :

;

,

то есть . Соответствующую ему вероятность находим по локальной формуле Лапласа: ,

где - значение найдено по таблице приложения 1.

Ответ: .

Задача 3. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 0,3. Какова вероятность, что выиграет, по крайней мере один из четырех купленных билетов?

Решение: .

.

Ответ: .