Примеры. Задача 1. Первая партия из 15 одинаковых изделий, среди которых 2 изделия бракованных

Задача 1. Первая партия из 15 одинаковых изделий, среди которых 2 изделия бракованных. Во второй партий 20 таких же изделий, из которых 3 бракованных. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего из второй партии выбирается наугад одно изделие. Определить вероятность того, что выбранное изделие окажется бракованным.

Решение: Задача решается по формуле полной вероятности.

Обозначим: Событие А - выбранное (после перекладывания) из второй партии изделие бракованное;

Событие , - переложено бракованное изделие из 1-ой партии во 2-ую. Событие - переложено не бракованное изделие из 1-ой партии во 2-ую. Вероятность событий , и находим по ситуации для первой партии, откуда и берется изделие для перекладывания. Очевидно: .

Сумма этих вероятностей равна 1, так как события , и составляет полную группу событий. Во второй партии после перекладывания будет 21 изделие, причем число бракованных среди них будет зависеть от того, какое изделие мы переложим.

Очевидно: . По формуле полной вероятности находим: .

Ответ: .

Задача 2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение: Обозначим через А событие - деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): В, - деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) ; В2 – деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, Р(А\В) = 0,6. Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, Р(А\В2) = 0,84. Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна:

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна:

.

Ответ: .