Статистический интеграл вращательного движения

Молекула массой m состоит из двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии 2r и вращающихся вокруг центра масс. Найдем статистический интеграл вращений при температуре Т.

При вращении изменяется угловое положение атомов. Используем сферические координаты с центром в точке симметрии молекулы. На рисунке черный круг – атом, второй атом в симметричной точке не показан.

При вращении изменяются углы φ и θ, молекула движется по окружностям с радиусами, соответственно, и r. Линейные скорости выражаем через угловые скорости и радиусы окружностей

– вдоль ,

– вдоль .

Обобщенными координатами фазового пространства являются углы φ и θ. Для нахождения обобщенных импульсов, соответствующих этим координатам, используем уравнение Лагранжа, связывающее импульс со скоростью:

.

Жозеф Луи Лагранж (1736–1865)

Функция Лагранжа

зависит от координат и скоростей. При отсутствии потенциальной энергии функция Лагранжа равна кинетической энергией. Для двухатомной молекулы с моментом инерции относительно прямой, перпендикулярной к оси молекулы и проходящей через центр масс, получаем

.

Откуда обобщенные импульсы

,

.

Угловые скорости выражаем через импульсы

,

.

Результаты подставляем в

,

и находим гамильтониан

.

Статистический интеграл частицы (2.17)

,

где

,

получает вид

.

Интегрируем вначале по j, затем по p_q, p_j и в конце по θ. Интегралы по p_q и по p_j сводятся к интегралу Пуассона

,

находим

,

.

В результате статистический интеграл вращательного движениямолекулы

. (П.3.6)