Лекция 4. Задача во многом усложняется, если функция зависит от нескольких переменных

Задача во многом усложняется, если функция зависит от нескольких переменных. Особые проблемы возникают при отсутствии непрерывности первых производных по некоторым переменным, в этом случае оптимизационная задача может быть решена только численным способом. Если все первые производные целевой функции по всем независимым перемененным в точке x_i^k подозрительной на экстремум непрерывны, то необходимым условием наличия экстремума в этой точке будет равенство нулю этих производных. Иными словами, для проверки необходимости требуется решить следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных.

Для многомерной задачи оптимизации проверка решения на достаточность является весьма проблематичной, поскольку целевая функция может иметь такой характер, когда по одной переменной функция имеет максимум, а во второй минимум, т.е. функция имеет седловой характер.

Для решения задачи оптимизации таких функций может применяться следующий подход: в окрестности «подозрительной» точки целевая функция раскладывается в ряд Тэйлора по приращению Δх_i и проверяется условие Сильвестра.

Методы исследования функций на базе классического анализа являются основой всех оптимизационных методов.