Краткая теория. Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси O(рис
Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси O(рис. 1).
Рис. 1. Физический маятник
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения.
.
I β = М ,(1)
где I – момент инерции маятника;
– угловое ускорение, φ – угол отклонения маятника от положения равновесия, М - сумма проекций моментов сил на направление оси вращения. Если момент сил трения много меньше момента силы тяжести, то
M= -mga×sinj ,, (2)
где т– масса маятника, g –- ускорение свободного падения, а –- расстояние от оси вращения до центра тяжести.
Уравнение движения (1) с учетом (2) примет вид
Ij = -mga×sinα
где ωо2 = (mga)/I ,тогда получим уравнение:
. (3)
Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением относительно функции φ(t).
Если амплитуда колебаний физического маятника не мала, дифференциальное уравнение (3) не будет линейным. Для больших углов отклонений маятника период Т начинает зависеть от амплитуды колебаний φm . Эту зависимость можно представить суммой бесконечного ряда, первые слагаемые которого равны
. (4)
При малых колебаниях угол φ мал, поэтому sinφ ≈ φ и уравнение (3) становится дифференциальным уравнением гармонических колебаний
. (5)
Решение этого уравнения:
j = jmcos(ω0t + α), (6)
где α - начальная фаза колебаний, ωо = 2π/Т - циклическая частота колебаний.
Запишем формулу периода малых колебаний, как
(7)
Получим зависимость периода малых колебаний от расстояния а. Момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен
, (8)
где Iс - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Подставляя (8) в (7), получим
(9)
Согласно этой формуле период колебаний Т одинаков при двухразличных значениях а (рис. 2): Т1 = Т2 при
, откуда
. (10)
Подставим (10) в формулу (9). Получим
(11)
Величина (12)
называется приведенной длиной физического маятника.
Сравнивая формулы (11) и (7) получим
(13)
Формула для периода малых колебаний маятника будет иметь следующий вид
. (14)
В данной работе с помощью физического маятника находится ускорение свободного падения g,которое исходя из уравнения (14),
. (15)
Приведенная длина находится из формулы (12), в которой а1и а2определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.
Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т.
Рис. 2. Зависимость периода колебаний маятника от параметрa a
На рисунке приведенная длина маятника Lnp = a1 + a2 равна расстоянию между точками А ̀В или В̀ А.
Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 794;