Скалярний добуток векторів
Означення. Скалярним добутком двох векторів (позначається ) називається число рівне добуткові модулів цих векторів, помноженому на косинус кута між ними:
. (1)
На основі властивості 1 проекцїї вектора рівність (1) запишеться:
(2)
У фізиці робота А сталої сили при прямолінійному переміщенні вздовж вектора шляху знаходиться як скалярний добуток цих векторів:
Основні властивості скалярного добутку.
Скалярний добуток комутативний
.
Випливає із (1).
Числовий множник можна виносити за знак скалярного добутку:
.
Для довільних векторів
.
Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю ( ) тоді і тільки тоді, коли один із них є нульовим вектором, або коли ці вектори перпендикулярні .
Таблиця скалярного множення ортів. Згідно означення (1) , аналогічно , а за властивістю (4) .
Отже, скалярний добуток одноіменних ортів дорівнює одиниці, а різноіменних - 0.
Скалярний добуток векторів в координатній формі. Якщо , то .
Дійсно, за допомогою властивостей маємо
Оскільки добуток одноіменних ортів дорівнює 1, а різноіменних – 0, то отримуємо формулу скалярного добутку у координатній формі:
. (3)
Приклад 1.Знайти скалярний добуток векторів і .
Розв’язання : За формулою (3) маємо:
.
Приклад 2.Задані точки А(3,2,3), В(1,-4,3), С(-4,5,1). Знайти скалярний добуток векторів .
Розв’язання .Спочатку знайдемо вектори
За формулою (3) маємо
.
Довжина вектора. Якщо в (1) , то
Відстань між двома точками. і знаходиться як довжина вектора за формулою (4):
Косинус кута між двома векторами отримаємо із формули (1) із врахуванням (3) і (4):
Приклад 3. Задані точки . Для паралелограма, побудованого на векторах і обчислити: 1)довжини сторін, тобто і ; 2) косинус та синус, кута ; 3) площу.
Розв’язання.Знаходимо вектори тоді: 1) , . 2) (кут - тупий ), . 3)
.
Приклад 4. Знайти модуль вектора , якщо
.
Розв’язання.За формулою (4) .Знаходимо
,
тоді .
Умова перпендикулярності двох ненульових векторів випливає із властивості 4° і формули (3)
Проекція вектора на вектор знаходиться із врахуванням (3) і (4):
Теорема. Декартові прямокутні координати вектора в базисі є його проекціями на відповідні осі координат.
Дійсно, згідно з (9) маємо
Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів , утворених між вектором та координатними осями ОХ, ОУ, ОZ (див. рис. 19)
Приклад. Знайти напрямні косинуси вектора та значення виразу .
Розв’язання.
.
Рис. 19
Легко перевірити, що для довільного вектора
Напрямні косинуси вектора повністю визначають напрямок вектора і є координатами одиничного вектора , що збігається за напрямком з , тобто:
Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 2573;