Приклади. 1. Знайти координати вектора , якщо (-1,2,3), (2,1,4).
Розв’язання.За формулою (1) маємо
=(2-(-1),1-2,4-3)=(3,-1,1).
Приклад 2.Початок вектора збігається з точкою . Знайти точку , з якою збігається кінець вектора .
Розв’язання. Відповідно до формули (1) для вектора маємо
(3,1,-5) = .
Враховуючи властивість 3о із 2.4 запишемо
,
, .
Таким чином знаходимо точку N(1,8,-4).
Приклад 3.Упевнитись, що система векторів утворює базис, та знайти координати вектора в цьому базисі, якщо відомі в прямокутній системі координати цих векторів , , , .
Розв’язання. Згідно означення (див. 2.4) вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто їх лінійна комбінація (де ), тільки тоді, коли .
Перевіримо це, скориставшись властивостями 1о-3о із 2.4:
Прирівнюючи відповідні координати, отримуємо систему:
Визначник цієї системи
Всі допоміжні визначники бо в кожному з них є нульовий стовпець із вільних членів однорідної системи. Отже, згідно формул Крамера і, таким чином, вектори - лінійно незалежні, а, значить, утворюють новий базис.
Звернемо увагу, що елементи стовпців визначника збігаються з відповідними координатами векторів .
Висновок. Якщо визначник, утворений з координат векторів , відмінний від нуля, то ці вектори лінійно незалежні,тобто утворюють базис.
Тепер знайдемо координати вектора у базисі , тобто знайдемо числа такі, що виконується рівність
Повторюючи попередні перетворення маємо
Прирівнюючи відповідні координати у лівій і правій частинах рівності, отримаємо систему, яку зручніше розв¢язати алгебраїчним додаванням:
|
.
Із
Таким чином, при отримаємо .
Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 2092;