МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Момент инерции, аналогично массе тела, в соответствии с его определением (4.11) является величиной аддитивной и может считаться характеристикой тела, независимо от того, вращается оно или нет.

В значительной степени момент инерции зависит от распределения массы в пределах тела, которое характеризуют плотностью тела:

(4.17)

Под в (4.17) понимается физически бесконечно малый объем, т.е. настолько малый, что все макроскопические свойства в его пределах можно считать постоянным, но достаточно большой, чтобы не проявлялась дискретностью строения вещества.

Соответственно, точная формула для вычисления получается из (4.11) и имеет вид:

. (4.18)

По сравнению с (4.11) в (4.18) заменены на бесконечно малые , находящиеся от оси вращения на расстоянии .

В качестве примера использования формулы (4.18) рассмотрим вычисление момента инерции однородного диска радиуса относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр. Разобьем мысленно диск (рисунок 4.5.) на кольцевые слои с радиусом и толщиной , толщина диска равна b. Объем кольцевого слоя

(4.19)

Его масса . Все точки кольцевого слоя находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, поэтому его момент инерции

. (4.20)

Момент инерции всего диска равен сумме моментов инерции кольцевых слоев:

. (4.21)

, для тонкого диска, относительно оси, лежащей в его плоскости и проходящей через центр: .

момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями d:

Например, при вращении сложного тела, по форме напоминающего гантель (рисунок 4.7) вокруг оси «ОО» проходящей через центр одного из шаров, его момент инерции можно представить состоящим из трех составляющих: момента инерции левого шара, стержня и правого шара. Последние в свою очередь по теореме Штейнера состоят из двух частей – момента инерции относительно оси проходящей через центр масс и произведения массы соответствующего тела на квадрат расстояния между осями.