Примеры реализации.

Задача.

Решить СЛАУ методом прогонки:

, .

.

.

.

Решение

Лекция №5. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод Якоби. Метод Зейделя. Метод верхней релаксации.

Продолжительность: 2 часа (90 мин.)

Метод Якоби.

Исходная система может быть преобразована к эквивалентной системе вида:

, где

- некоторая новая матрица;

- некоторый новый вектор.

Метод простой итерации (МПИ) предполагает нахождение решения системы путем вычисления последовательных приближений с помощью рекуррентного равенства:

, где

- номер итерации, а - некоторое начальное приближение. Матрица называется матрицей итерирования или перехода.

Необходимым и достаточным условием сходимости метода простой итерации при любом начальном приближении к решению системы является требование, чтобы все собственные числа матрицы перехода были по модулю меньше 1.

Устойчивый способ разложения .

,

В развернутом виде полученное матричное уравнение можно записать следующим образом:

Достаточный признак сходимости метода Якоби.

Метод Якоби сходится в случае диагонального преобладания в матрице коэффициентов СЛАУ:

, где .

Метод Зейделя.

Метод Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея метода состоит в том, чтобы использовать вычисленные компоненты вектора уже на текущей итерации, а не на следующей.

, т.е.:

, .

Система называется нормальной, если матрица является симметричной и положительно определена, т.е. .

Достаточный признак сходимости метода Зейделя: если исходная система нормальная, то метод Зейделя сходится.

Если исходная система не является нормальной, то ее можно привести к нормальному виду с помощью симметризации Гаусса – путем домножения левой и правой части матричного уравнения на транспонированную матрицу коэффициентов :

.