Приложение. Теория малых колебаний физического маятника.

Движение маятника описывается основным уравнением динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси:

,

где J – момент инерции маятника относительно оси вращения, φ – угол отклонения маятника от положения равновесия, М – суммарный момент внешних сил, действующих на маятник относительно оси вращения.

В экспериментальных установках обычно моменты силы трения в оси и силы сопротивления воздуха пренебрежимо малы. Поэтому М_с = – mgd sinφ, где

d = │ОС│ – расстояние от оси качания до центра масс, m – масса маятника,
g – ускорение свободного падения, а знак " – " указывает на то, что момент силы тяжести стремится возвратить маятник в положение равновесия. Таким образом, уравнение движения маятника имеет вид:

(П-1)

В случае малых отклонений маятника от положения равновесия (т.е. φ << 1) можно положить sin φ ≈ φ. Тогда уравнение (П-1) примет вид:

(П-2)

Легко убедиться, что решением этого уравнения является функция

где , а А и α – произвольные постоянные, т.е. величина φ(t) совершает гармонические колебания с циклической частотой ω. Амплитуда А и начальная фаза колебаний α зависят от способа возбуждений колебаний, т.е. определяются значениями φ и в момент времени t = 0. Частота колебаний ω определяется только параметрами маятника m, J, d.

Таким образом, при малых углах отклонения от положения равновесия колебания физического маятника являются гармоническими с периодом

, (П-3)

причем период колебаний не зависит ни от начальной фазы, ни от амплитуды колебаний, а определяется только параметрами маятника.

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции маятника J относительно оси вращения можно представить в виде:

, (П-4)

где J_c – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс.

Используя (П-4), формулу (П-3) можно переписать следующим образом:

(П-5)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке – центре масс маятника С. Для математического маятника длиной имеем: d = . J_c = 0. Тогда формула (П-5) принимает вид:

(П-6)

Сравнение формул (П-5) и (П-6) показывает, что период колебаний физического маятника равняется периоду колебаний математического маятника длиной

(П-7)

Величину l_пр называют приведённой длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Как следует из (П-7), приведенная длина физического маятника больше, чем расстояние от оси качания до центра масс маятника. Точка О, находящаяся от точки на расстоянии l_пр вдоль прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, называется центром качаний. Если маятник подвесить в точке , то период его колебаний будет тот же, что и при подвешивании в точке О. Действительно, при подвешивании маятника в точке , из (П-5) получаем следующее выражение для периода колебаний:

(П-8)

Из (П-7) имеем:

Тогда

Таким образом, период колебаний физического маятника не изменяется при перемещении оси качаний в центр качаний.