Выполнение норм выработки – рабочими цеха

Частости в процентах:

0,022 • 100 = 2,2%; 0,245 • 100 = 24,5% и т. д.

Накопленные частоты:

2 + 22 = 24; 24 + 48 = 72; 72 + 16 = 88; 88 + 2 = 90.

Если вариационный ряд дан с неравными интервалами, то для правильного представления о характере распределения необходимо произвести расчет абсолютной или относительной плотности распределения.

Абсолютная плотность распределения (р) представляет собой величину частоты, приходящейся на единицу размера интервала отдельной группы ряда: p=f / i.

Относительная плотность распределения (р¢) – частное от деления частости (w) отдельной группы на размер ее интервала: р¢ = w / i.

Эти показатели используются для преобразования интервалов, что бывает необходимо при сравнительной оценке двух группировок. Для перегруппированных данных (с равными интервалами) частоты (или частости) для каждой вновь выделенной группы определяются по формуле:

(или ),

где - абсолютная плотность распределения i-й группы первоначальной

группировки;

- часть величины интервала новой группировки, приходящаяся на i-ю группу первоначальной группировки.

Первым этапом изучения вариационного ряда является его графическое изображение.Дискретный вариационный ряд изображается в виде так называемого полигона, или многоугольника, распределения частот,являющегося разновидностью статистических ломаных. Для изображения интервального ряда применяются полигон распределения частот и гистограмма частот.

Строятся графики в прямоугольной системе координат. При построении полигона частот на оси абсцисс в одинаковом масштабе откладываются направо в порядке возрастания значения признака (для дискретного характера) или центральные значения интервалов (для интервальных рядов); по оси ординат наносится шкала для выражения величин частот. Из точек на оси абсцисс, соответствующих величине признака, восстанавливаются перпендикуляры высотой, соответствующей частоте; вершины перпендикуляров соединяются отрезками прямой. Крайние точки полученной ломаной соединяются с лежащими на оси абсцисс следующими (меньшими и большими) возможными, но фактически не наблюдающимися значениями признака, частота которых, очевидно, равна 0. Замкнутая с осью абсцисс ломаная линия представляет полигон распределения частот.

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на интервалах с высотой в масштабе оси ординат.

В случае неравенства интервалов гистограмма строится не по частотам или частостям, а по плотности распределения.

В ряде случаев для изображения вариационных рядов используется кумулятивная кривая (кумулята), она особенно удобна для сравнения вариационных рядов. Накопленные частоты наносятся на чертеж в виде ординат; соединяя вершины отдельных ординат прямыми, получают ломаную линию, которая, начиная с нуля, непрерывно поднимается над осью абсцисс до тех пор пока не достигнет высоты, соответствующей общей сумме частот.

Если поменять местами оси координат в кумуляте, то получаем новый вид графического изображения — огиву.

При изучении процессов концентрации (концентрации производства, концентрации капитала и др.) используется графическое изображение вариационного ряда в виде кривой Лоренца. Для ее построения абсолютные показатели числа единиц в группах и размер изучаемого признака выражаются в относительных показателях (в долях или процентах к итогу) и исчисляются их накопленные значения. При построении графика на горизонтальной линии наносится шкала для ряда накопленных частостей, а на вертикальной линии - шкала для накопленных относительных величин размера изучаемого признака. Далее наносятся точки в соответствии с накопленными значениями двух рядов. Соединив все точки прямыми линиями, получают кривую, характеризующую степень неравномерности распределения. Линия, соединяющая нижний левый угол графика с верхним правым (диагональ четырехугольника), является линией равномерного распределения. Чем больше кривая отличается от диагонали, тем больше неравномерность.

На основе графика можно рассчитать коэффициент концентрации (индекс Джини):

,

где S₀ - площадь между линией равномерного и фактического распределения;

S₁ - площадь треугольника, образуемого линией равномерного распределения и горизонтальной линией графика (соответствует половине площади четырехугольника).

Величина индекса изменяется в пределах от 0 до 1; для равномерного распределения она равна 0; чем больше степень концентрации, тем больше величина индекса.

При построении графических изображений вариационного ряда большое значение имеет соотношение масштабов по оси абсцисс (х) и оси ординат (f). В этом случае следует руководствоваться так называемым «правилом золотого сечения», в соответствии с которым высота графика должна быть примерно в 1,5 раза меньше его основания.

Для анализа вариационных рядов используются три группы показателей:

• показатели центра распределения;

• показатели степени вариации;

• показатели формы распределения.

Показатели центра распределения

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду применяются: средняя арифметическая, медиана, мода.

Средняя арифметическая для дискретного ряда распределения исчисляется по формуле:

,

где х - варианты значений признака;

f - частота повторения данного варианта.

Средняя арифметическая для интервального ряда распределения:

,

где х' — середина соответствующего интервала значения признака; вычисляется как средняя из значений границ интервала.

Медиана(Me) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

,

где п — число единиц в совокупности.

По накопленным частотам определяют ее численное значение в дискретном вариационном ряду.

Если совокупность содержит четное число значений варьирующего признака (п = 2 к; к = п/2), то в этом случае за медиану условно принимают значение:

,

так как в ряду нет члена, который делил бы совокупность на две равные по объему группы.

В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором находится медиана.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

Численное значение медианы определяется по формуле:

,

где — нижняя граница медианного интервала;

i — величина интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Мода (М_о)— наиболее часто встречающееся значение признака. В дискретном ряду - это варианта с наибольшей частотой. В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, т. е. тот интервал, который имеет наибольшую частоту.

Конкретное значение моды определяется по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным.

Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда. Медиана определяется по кумуляте. Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной.

Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.