Пример 8.

Рис.10

Пример 9. Определите, какие из следующих отношений между множествами

A={a, b, c}и B={1, 2,3}являются функциями из множества А в В.

Пример 10. Какие из отношений являются функциями?

(а) «х – брат или сестра у» на множестве всех людей;

(б) отношение на множестве Z, задано парами:

(в) отношение на множестве R, задано парами:

Решение:

(а) Это не функция, поскольку есть люди с несколькими братьями и сестрами, а также бывают семьи с единственным ребенком, т.е. ни брата, ни сестры нет.

(б) Отношение б функция, поскольку по каждому числу х его квадрата х² определяется однозначно.

(в) Последнее отношение – не функция, так как, например, обе упорядоченные пары: и - ему принадлежат. Кроме того, в нем отсутствуют пары (х, у) с отрицанием х.

Пусть – функция из множества А в множество В. Поскольку для каждого существует единственным образом определенный , такой, что , мы будем писать у = (х), и говорить, что функция отображает множество А в множество В, а (х) называть образом х при отображении или значением , соответствующим аргументу х.

Кроме того, можно написать :A→B, чтобы подчеркнуть, что функция переводит элементы из А в элементы В. Множество А принято называть областью определения, а В – областью значений функции .

Типы отображений.Отображение называется ее инъективным или инъекцией, или взаимно однозначным отображением, иначе «в», если для всех .

Это определение логически эквивалентно тому, что

т.е. у инъективной функции нет повторяющихся значений. Иными словами, разные входные данные дают различные выходные данные.

Будем называться функцию сюръективной или сюръекцией, или функцией «на», если множество ее значений совпадает с областью значений. Это означает, что для каждого найдется такой , что b= (a). Таким образом, каждый элемент области значений является образом какого – то элемента из области определения .

Мы называем биективной функцией или просто биекцией, если она как инъективна, так и сюръективна.

Пример 11. Определите, какие из функций, изображенных на рис. 11, инъективны, а какие сюръективны. Перечислите все биекции.

Рис.11

Решение:

(а) Данная функция не инъективна, поскольку значение 1 соответствует как a, так и b. Она не является и сюръекцией, ввиду того, что в элемент 2 ничего не переходит.

(б) Данная функция инъективна, т.к. не имеет повторяющихся значений. Она же и сюръективна, поскольку множество ее значений совпадает со своей областью значений.

(в) Значение 1 эта функция принимает как на а, так и на b. Следовательно, она не инъективна. Однако данная функция сюръективна, поскольку в ее множество значений входят все элементы области значений.

(г) Последняя функция инъективна, но не сюръективна (в элемент 2 ничего не переходит).

Только в случае (б) мы имеем биекцию.

Обратные функции. Пусть - произвольная функция. Рассмотрим функцию закон которой задан следующим образом: в том и только в том случае, если . Построенная таким образом функция называется обратнойк функции . При графическом представлении обратная функция получается из данной переменной направления стрелок.

Если функция задана аналитически, например, у = 5х и требуется найти обратную, то следует:

1) выразить х через у;

2) переименовать переменные.

В соответствии с заданной функцией: 1)

2)

Таким образом, обратная функция будет .

Если функция задана перечислением пар, например, то для задания обратной функции следует пометь местами образы и прообразы, т.е.

Обратными для тригонометрических функций являются: для sin x - arcsin x,

для cos x – arcos x и т.д.

Для логарифмических функций обратной будет показательная и наоборот. Обратной для х² будет и т.д.

Обратная функция однозначна в том и только в том случае, когда заданная функция инъективна.

Функция обратима только тогда, когда она биективна.

Суперпозиция функций.Результатом суперпозиции двух данных функций и называется функция , закон которой задается следующим образом: в том и только в том случае, если существует такой элемент , что и .

Функция , полученная таким способом из функций и называется их композицией.

Пример 12. Даны две функции и (рис.12).

		B		А		С

Рис.12

В функции в функции

В соответствии с определением получаем, что в новой функции

Пример 13. Заданы функции и Вычислить

Решение. Все четыре новые функции определены на R со значениями в R.

Как видно из вычислений, результат суперпозиции двух данных функций зависит от их порядка, т.е. операция суперпозиции не обладает свойством коммутативности.

В современных языках программирования функции используется очень широко. Они дают нам возможность выделить отдельные вычисления в подпрограммы. В большинстве языков есть специальные библиотеки с наиболее часто применяющимися функциями, такими как sin x, log x, и т.д. Кроме того, в них легко создавать собственные функции.

В некоторых особенно мощных языках, известных как языки функционального программирования, основные операторы определены в терминах функций. Главная особенность таких языков – возможность построения новых, более сложных, операторов из основных. Чтобы уметь это делать, нам необходимо в совершенстве овладеть композицией функций.