Тема 1.2 Тепловая задача. Основные положения. Критерии и числа подобия

В настоящее время существует немало как аналитических , так и численных методов решения тепловых задач для тел цилиндрической и прямоугольной формы. В случае нагрева тел более сложной формы для решения пригодны только численные методы. Тем не менее, использование аналитических методов для тел правильной цилиндрической или прямоугольной формы (параллелепипед) вполне оправдало исходя и из затрат на создание модели, так и из удобства при решении задач управления.

Основные положения.

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры, т. е.

, (9)

где - единичный вектор, направленный по нормали в сторону возрастания температуры.

Градиент обозначается также символом (набла). Составляющие градиента по осям декартовых координат равны соответствующим частным производным так что

. (10)

Выражение в квадратных скобках в формуле (5) можно записать как .

Основной закон теплопроводности Фурье.

Передача тепла теплопроводностью по нормали к изотермической поверхности от мест с большей температурой к местам с меньшей температурой.

Количество тепла, проходящее в единицу времени и отнесенное к единице площади изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока

, (11)

где – количество тепла, проходящее в единицу времени или скорость теплового потока; S – площадь поверхности.

Закон: Плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры

, (12)

где λ – коэффициент теплопроводности.

Коэффициент теплопроводности равен количеству тепла, протекающего в единицу времени через единицу поверхности при перепаде температуры на единицу длины нормали, равном одному градусу.

[Вт/(мград)]

Коэффициент теплопроводности зависит от температуры для металлов он линейно убывает; для газов увеличивается; для жидкостей, кроме воды и глицерина, убывает.

Материалы с [Вт/(мград)] называются теплоизоляционными.

Кроме λ используется коэффициент температуропроводности a

Коэффициент а температуропроводности равен количеству тепла, протекающего в единицу времени через единицу поверхности, при перепаде объемной концентрации внутренней энергии в 1 Дж/м³ на единицу длины нормали.

Критерии и числа подобия.

Теория подобия дает общий метод непосредственного преобразования выражений, содержащих дифференциальные операторы, к простейшим алгебраическим выражениям. Суть этого метода заключается в том, реальный процесс заменяется простейшей условной схемой, в которой все дифференциальные операторы сохраняют постоянные значения в пространстве и во времени.

Критерий Био

l - толщина пластины; - температура поверхности; - температура среды.

; ; ; (13)

. (14)

Соотношение между температурным переходом и температурным напором определяется непосредственно выражением .

Понятие теплотехнически тонких тел.

В случае, когда термическое сопротивление отдачи тепла телом много больше удельного термического сопротивления переносу тепла теплопроводностью внутри тела от его поверхности к середине , то есть когда

, (15)

где - половина толщины тела, тело называется теплотехнически тонким.

Во сколько раз должна быть меньше, чем конкретной общепринятой цифры нет, да она зависит от требований к заданному перепаду. В каждом случае расчетчик решает сам, является ли тело теплотехнически тонким. Приближенно можно принять . Такому соотношению соответствует значение критерия Био Bi<0.25.

Критерий Фурье

Для одномерной задачи имеем

. (16)

Заменим на , а на (индексы и l означают соответственно изменение температуры за время и на протяжении l).

Тогда запишем

; (17)

, (18)

- обобщенное время. Его можно назвать критерием гомохронности (однородность по времени; если для двух систем отношение имеет одно и то же значение, то для них гомохронность переходит в синхронность).