Метод простой итерации

Заменим уравнение (2.1) равносильным уравнением

x = f(x). (2.4)

Пусть x - корень уравнения (2.4), а x₀, полученное каким либо способом нулевое приближение к корню x. Подставляя x₀ в правую часть уравнения (2.4), получим некоторое число x₁ = f(x₀). Повторим данную процедуру с x₁ и получим x₂ = f(x₁). Повторяя описанную процедуру, получим последовательность

x₀, x₁,…x_n, …, (2.5)

называемую итерационной последовательностью.

Геометрическая интерпретация данного алгоритма представлена на рис. 2.6.

Рис. 2.6

Итерационная последовательность, вообще говоря, может быть как сходящейся, так и расходящейся, что определяется видом функции f(x).

Теорема 2.1. Если функция f(x) непрерывна, а последовательность (2.5) сходится, то предел последовательности (2.5) является корнем уравнения (2.4).

Действительно, пусть . Перейдем к пределу в равенстве :

.(2.6)

Условие сходимости итерационного процесса определяется теоремой о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

Теорема 2.2. Пусть уравнение имеет единственный корень на отрезке и выполнены условия:

1) определена и дифференцируема на ;

2) для всех ;

3) существует такое вещественное q, что для всех .

Тогда итерационная последовательность (n = 1, 2, …) сходится при любом начальном приближении .

Доказательство. Построим итерационную последовательность вида (2.5) с любым начальным значением . В силу условия 2 теоремы 2.2 все члены последовательности находятся в отрезке .

Рассмотрим два последовательных приближения и . По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем

Переходя к модулям и принимая во внимание условие 3 теоремы 2.2, получим

При n = 1, 2, … имеем

(2.7)

….

Рассмотрим ряд

(2.8)

Составим частичные суммы этого ряда

Заметим, что (n+1)-я частичная сумма ряда (2.8) совпадает с n-ым членом итерационной последовательности (2.5), т.е.

. (2.9)

Сравним ряд (2.8) с рядом

(2.10)

Заметим, что в силу соотношения (2.7) абсолютные величины членов ряда (2.8) не превосходят соответствующих членов ряда (2.10). Но ряд (2.10) сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (q < 1, по условию). Следовательно, и ряд (2.8) сходится, т.е. его частичная сумма (2.9) имеет предел. Пусть . В силу непрерывности функции f получаем (cм. (2.6)):

т.е. x - корень уравнения .

Отметим, что условия теоремы не являются необходимыми. Это означает, что итерационная последовательность может оказаться сходящейся и при невыполнении этих условий.

Найдем погрешность корня уравнения, найденного методом простой итерации. Пусть x_n - приближение к истинному значению корня уравнения x = f(x). Абсолютная ошибка приближения x_n оценивается модулем