Простейшие функции

Простейшими называют функции от двух переменных. В табл.5.3 приведены все функции, существенно зависящие от двух переменных. Для восьми из них введены названия и обозначения в табл. 4.

Таблица. 3

Задание. Объясните, почему остальные 6 функций не вошли в таблицу.

Таблица. 4

Функция конъюнкция ещё называется функция И или логическое умножение и обозначается х&у=хÙу= х×у= ху

Функцию дизъюнкции ещё называют функцией ИЛИ (логическим сложением).

С помощью простейших можно строить более сложные функции, заменяя переменные функциями. В результате функции сопоставится формула, задающая последовательность выполнения операций. Для определения порядка вычисления функций можно использовать скобки. Например, функция, приведенная в табл. 5.1, может быть описана формулой

f = (x1Å(x2Åx3)).

Свойства простейших функций.

Между операциями над множествами, описанными в главе 1, и некоторыми простейшими функциями можно провести следующую аналогию. Для множества А сопоставим каждому элементу универсального множества функцию а=1, если аÎА, и а=0, если аÏА. Точно также переменную можно связать с любым множеством. Тогда имеет место следующие условия. Для элементов из `Афункция `а=1, для элементов АÇВ–а×b=1, для элементов АÈВ аÚb=1. Значит, свойства операций, рассмотренных в главе 1, будут верны и для простейших функций.

Ниже перечислены свойства простейших функций, в истинности которых просто убедиться элементарной проверкой с помощью перебора.

• Коммутативность функций конъюнкции, дизъюнкции, сложения по модулю 2: хÚу=уÚх.
• Ассоциативность этих же функций: (хÚу)Úz= хÚ(уÚz)=хÚуÚz.
• Дистрибуция: хÚ(у×z)=(хÚу)×(хÚz), х×(уÚz)= (ху)Ú(хz),х(уÅz)=(ху)Å(хz).
• Правило де Моргана: (хÚу)=`х×`у, (х×у)=`хÚ`у.
• Свойства констант: х×0=0,х×1=х,хÚ0=х,хÚ1=1,хÅ1=`х,хÅх=0,хÚ`х=1,х×`х=0.

Используя эти свойства, можно преобразовывать формулы, удаляя лишние элементы, раскрывая скобки, вынося элементы за знаки скобок и т.п.