Точечные группы симметрии

Полное сочетание элементов симметрии кристаллического многогранника называется его классом симметрии, или точечной группой симметрии.

Понятие класса симметрии кристалла эквивалентно понятию точечной группы симметрии. Понятие группы дается следующим образом.

Множество различных а,b,с… составляет математическую группу, если оно удовлетворяет следующим условиям.

1) Произведение любых двух элементов или квадрат какого- либо элемента множества принадлежит тому же множеству.

2) Для любых трех элементов множества выполняется ассоциативный (сочетательный) a(bc)=(ab)c;

3) В множестве существует единичный (нейтральный) элемент e такой что ае=еа=а;

4) Для любого элемента a существует элемент a^-1, принадлежащий тому же множеству, так что aa^-1=a^-1a=e

Всем этим условиям удовлетворяет любой из 32 классов симметрии.

Единичное направление. Плоскости симметрии, оси симметрии простые и инверсионные, центр симметрии обнаруживается в кристаллах в различных сочетаниях. Например, обычная поваренная соль(хлористый натрий) кристаллизуется в форме кубов, алмаз, квасцы- в форме октаэдров (восьмиугольников). Полный набор элементов симметрии у этих разных многогранников один и тот же: девять плоскостей m(p) – три координатные и шесть диагональных), три оси 4(L₄), четыре оси 3 (L₃), шесть осей 2(L₂) и центр симметрии ^-1 (с). В звездочках снежинок или иголочках инея, как в шестигранном карандаше, отчетливо проявляется иная симметрия, в которой ось симметрии 6 (L₆) является единственной и ее нельзя повторить никакими другими операциями симметрии, свойственными этим кристаллам. Единственное , не повторяющееся в многограннике направление называется особым или единичным. Единичным направлением является ось 6 в шестигранной призме или пирамиде. Но ось 4 в кубе и октаэдре – уже не единичная. Этих осей здесь 3, и каждая из них может совместиться с другой такой же осью, например путем отражения в плоскости симметрии. В кубе и октаэдре вообще нет единичных направлений, для любого направления в них можно найти симметрично эквивалентные направления.

Контрольные вопросы

1. Укажите, что называют элементами симметрии.

2. Объясните, что такое симметрия.

3. Назовите элементы симметрии.

4. Дайте определение центра инверсии.

5. Дайте определение оси симметрии.

6. Дайте определение плоскости симметрии.

7. Объясните, что такое инверсионная ось симметрии.