Диференціальні рівняння руху матеріальної точки

Диференціальні рівняння руху – це рівняння, які містять похідні та описують рух заданої матеріальної точки.

Вигляд указаних рівнянь залежить від способу описування руху. Нехай матеріальна точка має масу т і рухається під дією сили . Розглянемо векторний, координатний і натуральний способи описування руху.

А) Диференціальне рівняння руху матеріальної точки у векторній формі має вигляд:

.

При розрахунках це рівняння розглядають разом із початковими умовами руху, які визначають початкове положення і початкову швидкість точки.

Початкові умови руху точки у векторній формі мають вигляд:

, .

(початкове положення) (початкова швидкість)

Щоб отримати указане диференціальне рівняння, враховуємо, що при векторному способі описування руху положення матеріальної точки М відносно інерціальної системи відліку визначають за допомогою радіуса-вектора , а її прискорення визначають за формулою .

Враховуємо також, що сила , яка діє на точку М, у загальному випадку може залежати від часу t, радіуса-вектора і швидкості , тобто .

Отже, за основним законом динаміки отримаємо:

=> => .

Зазначимо, що указане диференціальне рівняння має другий порядок (оскільки містить похідну другого порядку).

Б) У координатній формі диференціальні рівняння руху матеріальної точки мають вигляд:

, , .

Тут , , є проекціями прискорення на координатні осі;

, , – проекції сили , кожна з яких може залежати від часу t, від координат точки та від її швидкості.

Початкові умови руху точки при координатному способі мають вигляд:

початкове положення , , ;

початкова швидкість , ,

В) При натуральному способі описування руху диференціальні рівняння руху матеріальної точки мають вигляд:

, , , де т – маса точки,

s – дугова координата точки, – радіус кривини траєкторії,

, , – проекції сили на дотичну , на головну нормаль та на бінормаль відповідно.

Початкові умови руху точки при натуральному способі мають вигляд:

початкове положення , початкова швидкість .