Двусторонние и односторонние поверхности

План

1. Двусторонние и односторонние поверхности
2. Определение поверхностного интеграла І типа
3. Вычисление поверхностного интеграла І типа

Двусторонние и односторонние поверхности

Пусть поверхность определена явным образом с помощью уравнения

.

Такая поверхность не ограничивает никакое тело, она является незамкнутой. Здесь можно определить верхнюю и нижнюю стороны поверхности. Если поверхность ограничивает какое-то тело, то для нее можно определить внутреннюю и внешнюю стороны.

Рассмотрим гладкую поверхность , которая может быть замкнутой или ограниченной кусочно-гладким контуром. В каждой точке такой поверхности к ней можно провести касательную плоскость. Возьмем на поверхности некоторую точку , построим в ней нормаль определенного направления. Построим на поверхности замкнутый контур , который не пересекает границ поверхности. Будем обходить этот контур, строя в каждой его точке нормаль к поверхности (непрерывно изменяя нормаль). При возвращении в точку возможны два случая:

· Мы возвратимся в с тем же направлением нормали, с каким выходили из нее;

· Мы возвратимся в с противоположным направлением нормали.

Если для поверхности всегда имеет место первый случай, то поверхность является двусторонней, если для поверхности возможен и второй случай, то поверхность односторонняя. Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса.

Дальше рассматриваются лишь двусторонние поверхности.

Определение. Совокупность всех точек поверхности с определенными направлениями нормалей в них называется стороной поверхности.

Пример. Пусть поверхность задана с помощью уравнения , функция непрерывна в некоторой области , и , - непрерывны в . Тогда направляющие косинусы нормали к поверхности имеют вид:

, , .

Если , то угол между поверхностью и осью OZ меньше , определена верхняя сторона поверхности, для определяется нижняя сторона поверхности.

2. Определение поверхностного интеграла І типа

Пусть - двусторонняя гладкая или кусочно-гладкая поверхность. На определена функция . Разобьем с помощью произвольных кусочно-гладких кривых на части , , ..., . Возьмем произвольно в каждой части точку и вычислим . Значение помножим на площадь , которую обозначим , тогда сумма

называется интегральной суммой для поверхностного интеграла І типа.

Обозначим:

.

Определение. Если существует

,

который не зависит ни от способа разбиения на части, ни от выбора промежуточных точек , то этот предел называется поверхностным интегралом І типа от функции по поверхности и обозначается

.

3. Вычисление поверхностного интеграла І типа

Пусть поверхность определяется параметрично:

.

Обозначим:

.

называются гауссовыми коэффициентами поверхности.

Пусть определена в точках поверхности и ограничена, тогда:

.

Пусть теперь поверхность определена: . Если рассмотреть как параметры, то параметрическое задание этой поверхности будет иметь вид:

.

Для такого задания поверхности:

, , ,

Тогда

.

Задание. Вычислить

,

где - эллипсоид . Параметрическое задание эллипсоида:

.

При правильном вычислении результат должен равняться: .