Определение криволинейного интеграла І рода

Пусть вдоль кривой определена некоторая функция , которую назовем «функцией точки». Повторим действия, проведенные више для задачи о массе кривой для произвольной функции . Пусть , построим

= . (30)

Сумма (30) является интегральной суммой для криволинейного интеграла І рода.

Аналогичный процесс построения интегральной суммы можно использовать и в случае замкнутой кривой.

Определение 1. Пусть существует конечный предел

,

который не зависит ни от способа разбиения на части , ни от выбора промежуточных точок , тогда этот предел называется криволинейным интегралом І рода от функции по кривой и обозначается:

.

Тогда согласно формуле (20) и определению 1 масса кривой вычисляется как

.

Замечание 1. В определении криволинейного интеграла І рода не имеет значения направление, которое выбирается на кривой , т.е., если точки - это концы кривой , то

.

Аналогично определяется криволинейный интеграл І рода по кривой , которая находится не на плоскости, а в трехмерном пространстве:

.