ЛЕКЦИЯ 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

4. Составим (n −1) = 2 −1=1 уравнение по первому закону Кирхгофа:

J + I₁ − I₂ − I₃ = 0

либо I₁ − I₂ − I₃ = −J .

5. Дописываем два недостающих уравнения по второму закону Кирхгофа. Рекомендуют составлять уравнения для «главных», не содержащих в

себе других контуров. Направление обхода разных контуров может быть раз-

ным.

Выберем направление обхода контуров по часовой стрелке. Тогда

U₁ +U₂ = E₁;

−U₂ +U₃ = E .

Подставив выражения напряжений по закону Ома, получим следующую систему уравнений:

6. Решением системы находим токи.

Систему уравнений по законам Кирхгофа можно записать в матричной форме следующим образом:

[a]⋅[I ]= [F],

где [a] – квадратная матрица коэффициентов; [I ] – матрица-столбец неиз-

вестных токов ветвей; [F] – матрица-столбец активных параметров, которы-

ми являются токи источников тока и ЭДС.

Уравнения в системе не однотипны, так как записаны на основании двух разных законов. В уравнениях по первому закону Кирхгофа коэффициенты a_ij безразмерны и могут принимать значения ±1 или 0. В правой части Fj = ΣJ .

В уравнениях по второму закону Кирхгофа коэффициенты aij имеют размерность сопротивления, F_i = ΣE . Если j – ветвь входит в i -тый контур, для которого составлено уравнение, то a_ij = ±R_ij , не входит – a_ij = 0 .

Для рассмотренного примера

Расчет по законам Кирхгофа является универсальным, но громоздким.

Поэтому на его основе разработаны методы, позволяющие упростить решение.

2. Метод узловых потенциалов.

В качестве промежуточных неизвестных принимают потенциалы узлов.

Потенциал – функция многозначная, поэтому потенциал одного из уз-

лов принимают равным нулю. Рационально заземлять узел, в котором схо-

дится максимальное число ветвей.

Уравнения составляют на основании первого закона Кирхгофа. В них

подставляют значения токов, выраженные по закону Ома для активной и пас-

сивной ветвей. Число уравнений равно числу незаземленных узлов. Систему

можно записать в трафаретном виде:

где G₁₁ , G₂₂ , ..., G_mm – собственные проводимости узлов, равные сумме проводимостей ветвей, соединяющихся в соответствующем узле; G₁₂ , G₂₁ ,

G₁₃ , ... – общие проводимости между двумя узлами, равные сумме проводи-

мостей ветвей, соединяющих эти узлы; J₁₁, J₂₂ , ..., J_mm – узловые токи, рав-

ные алгебраической сумме произведений проводимостей активных ветвей на

ЭДС этих ветвей и токов источников тока, соединяющихся в этом узле.

С положительным знаком берут ЭДС и токи, направленные к узлу.

Составим систему уравнений для схемы на рис. 3.2:

Решением системы уравнений определим потенциалы узлов. Затем рассчитаем токи ветвей по закону Ома:

I₁ = G₁(V₄ −V₁ + E₁) = G₁( −V₁ + E₁) , так как V₄ = 0 ;

I₂ = −G₂V₁ ; I₃ = G₃(V₁ −V₂ − E₃); I₄ = G₄( −V₃ + E₄ ) ;

I₅ = G₅(V₂ −V₃); I₆ =G₆(V₂ −V₃ − E₆).

3. Метод напряжения между двумя узлами.

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов и применим для схемы с двумя узлами.

Так как потенциал одного из узлов принимают равным нулю, то потенциал второго узла равен напряжению между этими узлами.

Если принятьV2 = 0 , то трафаретная система даёт одно уравнение:

G₁₁V₁ = J₁₁, гдеV₁ =U₁₂ .АСЧЕТА ТОКОВ

Формулу для определения напряжения между двумя узлами в общем виде можно записать следующим образом:

 

где G_i − проводимости ветвей; n − число ветвей, содержащих источники ЭДС с отличными от нуля проводимостями; m − число ветвей, содержащих источники тока; l − число ветвей без источников тока.

Число слагаемых в числителе равно числу активных ветвей. С положительным знаком записывают Е и J, направленные к первому в индексе напряжения узлу. Сумма в знаменателе формулы – арифметическая.

Вычислив напряжение между двумя узлами, по закону Ома для ветви находят токи.

4. Метод эквивалентных преобразований схем с последовательно параллельным соединением приемников.

Метод эквивалентных преобразований применяют как самостоятельный для расчета токов в схемах с одним источником энергии и несколькими приемниками. Его можно использовать и для упрощения частей сложной схемы при расчетах другими методами.

Все приемники заменяют одним с эквивалентным сопротивлением.

При этом токи и напряжения в частях схемы, не затронутых преобразовани-

ем, должны оставаться неизменными.

Находят токи в свернутой схеме. Затем возвращаются к исходной схеме с определением остальных токов.

Преобразование схемы проводят постепенно, рассматривая участки с последовательными и параллельными соединениями приемников. Предвари-

тельно нужно выявить узлы и ветви. Элементы, принадлежащие одной ветви,

соединены между собой последовательно. В них один ток. Эквивалентное

сопротивление последовательно соединенных резисторов равно сумме их со-

противлений:

.

При параллельном соединении элементы схемы замещения находятся под одним напряжением и соединены между собой двумя выходными зажимами. Эквивалентная проводимость параллельно соединенных резисторов

равна сумме их проводимостей:

.

 

В свернутой схеме ток определяют по закону Ома:

 

I = E / R_э.

При возвращении к исходной схеме с определением остальных токов удобно пользоваться формулой для определения тока в одной из двух парал-

лельно соединенных пассивных ветвей.

Ток в одной из двух параллельно соединенных пассивных ветвей про-

порционален току в неразветвленной части схемы. В числителе коэффициен-

та пропорциональности записывают сопротивление другой пассивной ветви,

в знаменателе – сумму сопротивлений двух пассивных ветвей.

 

 

ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОКОВ

План лекции

1. Метод эквивалентных преобразований для расчета схем с трехполюсниками

2. Метод наложения

3. Метод эквивалентного генератора

1. Метод эквивалентных преобразований для расчета схем с трехполюсниками.

Если схема не содержит последовательные и параллельные соединения

резисторов, необходимо соединение треугольником (рис. 4.1, а), заменить

эквивалентной ему звездой (рис. 4.1, б) или выполнить обратную замену.

Структура формул эквивалентных преобразований имеет вид:

; ; ;

; ;

После преобразования резисторы в схеме соединены последовательно-

параллельно, их можно заменить одним с эквивалентным сопротивлением.

2. Метод наложения

Метод наложения основан на принципе независимости действия источников энергии. Ток в любой ветви схемы равен алгебраической сумме токов, возникающих в этой ветви под действием каждого отдельно работающего источника.

Схему делят на столько подсхем, сколько источников энергии. В каждой подсхеме оставляют только один источник, остальные источники ЭДС

закорачивают, источники тока – разрывают. Приемники во всех подсхемах остаются неизменными .Токи в подсхемах ищут методом эквивалентных преобразований.

Токи в схеме вычисляют алгебраическим суммированием токов в подсхемах.

Метод наложения рационально применять, если в схеме не больше

трех источников энергии.

Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пример. Вычислить токи в схеме рис. 4.2, если известны значения ЭДС

источников и сопротивления всех резисторов.

1. Выявим узлы (1, 2), ветви, направим токи.

2. Разобьем схему на две подсхемы (рис. 4.3, а, б).

3. Выявим узлы и ветви в первой подсхеме. Ток I₁′ появляется в источ-

нике ЭДС, затем в узле 1 разветвляется на токи I₂′ и I₃′ . Направления токов

нужно указывать правильно. В подсхеме нет ветвей, содержащих больше од-

ного резистора, т. е. нет последовательных соединений. Резисторы с сопро-тивлениями R₂ и R₃ соединены параллельно. Их можно заменить одним ре-

зистором с эквивалентным сопротивлением R₂₃ =(R₂ R₃ )/( R₂ + R₃ ).

После этого преобразования схема превращается в последовательное

соединение с R_э′ = R₁ + R₂₃.

В свернутой схеме ток I₁′ вычислим по закону Ома: I₁′ =E₁ / R^׳_Э .

Ток I₂′ найдем по формуле разброса: I₂′ =(R₃ I₁′ )/( R₂ + R₃ ).

Ток I₃′ можно определить с помощью первого закона Кирхгофа:

I₃′ = I₁′ − I₂′ .

4. Выявим узлы и ветви во второй подсхеме, правильно направим токи.