Парабола. Вывод канонического уравнения. Виды парабол
Def. | Параболой называют геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до прямой, называемой директрисой. |
Пусть r – расстояние от точки параболы до фокуса;
d – расстояние от точки параболы до директрисы.
Тогда, по определению, уравнение параболы
.
Получим уравнение параболы, расположенной в плоскости с д.п.с.к. X0Y.
Пусть фокус F принадлежит оси 0X. Директрису проведем перпендикулярно оси 0Х на расстоянии p от фокуса F. Пусть начало координат т.0 – является серединой этого расстояния.
Пусть т. M(x;y) – «текущая» точка параболы.
Пусть r – расстояние от т. M(x;y) до фокуса ;
d – расстояние от т. M(x;y) до директрисы .
По определению параболы .
По теореме Пифагора из прямоугольного ΔF MN:
.
Расстояние от т. M(x;y) до директрисы
.
Таким образом, .
Возведя обе части в квадрат, получим
.
Откуда – каноническое (простейшее) уравнение параболы.
Note 1 | Дома или на п/з доказать, что парабола – кривая второго порядка. |
Так как по определению расстояние , то из уравнения параболы следует, что .
Так как в уравнении параболы ордината «текущей» точки M(x;y) y входит во второй степени, то парабола симметрична относительно оси 0Х. При этом верхнюю и нижнюю части кривой называют ветвями параболы, а начало координат т. О(0;0) – ее вершиной.
Note 2 | Дома или на п/з обосновать различные виды парабол: |
Парабола симметричная оси 0Y, . | |||
Парабола симметричная оси 0Y, . | |||
Парабола симметричная оси 0X, . |
Note 3 | Дома или на п/з доказать, что , т.е. для параболы. |
Note 4 | Дома или на п/з (с помощью параллельного переноса системы координат на a по оси 0Х и на b по оси 0Y) доказать, что – уравнение параболы с вершиной в т.С(a;b). |
Note 5 | Таким образом, основной характеристикой кривой второго порядка является ее эксцентриситет , т.е. если – окружность, – парабола, – гипербола, – эллипс. |
Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 2028;