Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной равна 0.

Доказательство D[с]=0

D[с]=M[c²]-M²[c]=c²-c²=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.

Доказательство:

D[cx]=c²D[x]

D[cx]-M[c²x²]-M²[cx]=c²M[x²]-c²M[x]=c²([M[x]²-M[x]])=c²D[x]

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин

D[х+у]=D[х]+D[у]

D[х+у] = М[х+у]²-М²[х+у] = М[х²+2ху+у²]-(М[х]²+М[у]²)= М[х²]+М[2ху]+ М[у²]-М²[х]-М²[у] - М[2ху]= М[х²]-М²[х]+М[у²]-М²[у]=D[х]+ D[у].

Заметим, теорема обобщается на любое число взаимно независимых слагаемых. По определению следует, что дисперсия есть неотрицательное число и имеет квадратичную размерность.

Пример.

Найти дисперсию случайной величины , плотность распределения которой задана

;

;

Пример № 2.

Число очков, выбиваемых при одном выстреле из 2-х стрелков, подчиняется следующему распределению:

Найти дисперсию случайных величин x₁ и x₂.

M[x₁]=0,3+0,4+1,5=2,2;

M[x₂]=0,1+1,2+0,9=2,2;

D[x₁+x₂]=D[x₁]+D[x₂]=M[x₁²]-M²[x₁]+M[x₂²]-M²[x₁];

M[x₁²]=0,3+0,8+4,5=5,6;

M[x₂²]=0,1+2,4+2,7=5,2;

D[x₁+x₂]=5,6-4,84+5,2-4,84=10,8-9,68=1,12.

D[x₁]=0,76;

D[x₂]=0,36.