Пример. Рассмотрим систему измерения углового положения ЛА с использованием МНК

Рассмотрим систему измерения углового положения ЛА с использованием МНК. В данной системе на основе информации от трех идентичных ИНС вычисляется угол крена ЛА. Показания первой, второй и третей ИНС соответственно равны:

(1)

где - текущее значение угла крена;

, , - ошибки ИНС (компоненты вектора ).

В матричной форме (1) имеет вид

(2)

где ; ; ; .

Итак, необходимо в соответствии с наблюдением и заданною матрицею наблюдения осуществить оценку состояния вектора .

Оценкой угла крена согласно МНК является:

(3)

где а) ;

б) ;

в) = .

Полученные значения подставим в (3):

Таким образом, в данном случае значение крена определяется как среднее арифметическое показаний трех инерциальных систем.

Алгоритм оценки согласно метода максимума правдоподобия (ММП)

Алгоритм оценки согласно ММП как и алгоритм оценки согласно МНК требует накопления измерений, то есть наличия вектора наблюдения. При этом предполагается, что ошибки измерений распределены согласно нормальному закону. Тогда плотность распределения вероятности вектора (возмущения) имеет вид:

(12)

где - корреляционная матрица ошибок измерения;

- определитель матрицы .

Использование алгоритма ММП предусматривает наличие не особой матрицы , то есть .

Так как , то отсюда

(13)

и после подстановки (13) в (12), получим функцию правдоподобия :

(14)

где - функция правдоподобия.

Функция представляет собой плотность распределения ошибок измерения.

Необходимо выбрать такую оценку , при которой функция правдоподобия преобразуется в максимум, который соответствует минимуму квадратов отклонений измеряемых координат вектора от их действительного значения, для чего необходимо, чтобы

На практике более рационально вычисление не самой функции правдоподобия, а ее логарифма, то есть:

(15)

Найдя производную уравнения (15) по компонентам вектора и приравнивая полученный результат нулю, получим

(16)

Как видно из (16) одно слагаемое есть транспонированным выражением другого, поэтому достаточно приравнять нулю, например первое слагаемое:

=0,

откуда

(17)

Выражение (17) является исходным для разработки алгоритма оптимальной оценки вектора состояния системы измерений согласно метода максимума правдоподобия. Таким образом, для определения данных оценок, прежде всего необходимо:

· осуществить накопления наблюдений ;

· определить корреляционную матрицу ошибок измерений;

· определить матрицу связи наблюдения .

Структурная схема получения оптимальных оценок согласно метода ММП показана на рис. 2.

Рисунок 2

Как и для алгоритма по МНК при получении оценки вектора состояния, так и согласно ММП необходимо осуществлять накопление результатов измерений . В связи с этим и в этом случае метод ММП пригоден при условии измерения одного и того же параметра несколькими системами в одни и те же моменты времени.

Пример.

Географическая широта ЛА измеряется с помощью ИНС и астроориентатора (звездно-солнечного) ЗСО, ошибки ИНС и ЗСО некоррелированы. Согласно паспортным данным дисперсии ошибок ИНС и ЗСО составляют:

Требуется осуществить оценку определения широты используя метод максимального правдоподобия при условии, что показания ИНС на данный момент времени составляют , а показания ЗСО соответственно .