СОГЛАСНО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Метод наименьших квадратов применяется для получения оценок обработки накопленных измерений. В том случае, если выполнено измерений координат (параметров) системы

,

(1)

то поскольку компоненты вектора наблюдения

(2)

измеряются с ошибками, то, как следствие измерений получают новый вектор, то есть вектор измерений

.

(3)

В выражениях (1) … (3) обозначены:

- n-мерный вектор состояния системы;

- квадратичная матрица коэффициентов системы размеренности n n;

- матрица возмущений, размеренности m k;

- k-мерный вектор возмущений, действующих на входе динамической системы;

- матрица связи (наблюдений);

- вектор измерений.

Таким образом, согласно вектору измерений и заданной матрице наблюдения требуется наилучшим образом оценить состояние вектора . Критерием такой оценки согласно метода наименьших квадратов служит функционал:

,

(4)

который минимизирует сумму квадратов ошибок измерения .

В матричном виде критерий (4) имеет вид:

(5)

или, учитывая, что запишется так

.

(6)

Оценка вектора состояния системы можно получить путем решения уравнения

	(7)
применяя которое к (6), получим:   .	(8)

Выражение (8) принимает значение, равное нулю в том случае, когда согласные равны нулю:

и .

(9)

Из выражения

(10)

следует

,

откуда

.

(11)

Теперь сформируем необходимые и достаточные условия получения оптимальных оценок вектора состояния системы методом наименьших квадратов, который предусматривает:

· наличие накопления наблюдений ;

· значение матрицы наблюдения ;

· неособенность матрицы , то есть .

Структурная схема получения оптимальных оценок методом наименьших квадратов может быть представлена в виде (рис. 1).

Рисунок 1

Получение оценки связано с накоплением наблюдений , вследствие чего новая оценка параметра не совпадает по времени с его текущим значением из-за необходимости времени не накопление наблюдений. Поэтому алгоритм МНК для оценки используют в случае измерения одного и того же параметра несколькими датчиками.

Рассмотрим пример использования МНК для оценки пилотажно-навигационных параметров полета.