Метод гармонической линеаризации.
Под линеаризацией понимают приближенную замену нелинейной функции линейной таким образом, чтобы по какому-то выбранному показателю обе эти функции совпадали.
В способе гармонической линеаризации нелинейный Рис. 4 элемент заменяется квазилинейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале
(5)
из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена.
Рассмотрим процедуру линеаризации для статического нелинейного элемента, уравнение которого имеет вид
. (6)
При поступлении на его вход гармонического сигнала (5) на выходе звена также будет периодический, но несинусоидальный сигнал
. (7)
Разложим его в ряд Фурье и получим
, (8)
где будем полагать u0=0, что справедливо для симметричной нелинейной характеристики (6).
С учетом (7) коэффициенты ряда Фурье (8) определяются известными соотношениями
Используем только первые члены ряда разложения в (8), пренебрегая высшими гармониками, и получим
. (9)
Учтем, что , , следовательно,
(10)
После подстановки (10) в (9) получим выражение для выходного сигнала нелинейного звена, точнее для первой гармоники реакции звена на гармоническое воздействие
,
которое, если принять обозначения
(11)
можно записать в виде
. (12)
Здесь и - коэффициенты гармонической линеаризации, которые зависят только от амплитуды.
Как видим, уравнение нелинейного звена (12) с точностью до высших гармоник является квазилинейным. При постоянных значениях амплитуды входного сигнала А коэффициенты гармонической линеаризации q1(A) и q2(A) являются постоянными. Однако различным значениям амплитуды A соответствуют разные коэффициенты q1(A) и q2(A). В этом заключается отличие гармонической линеаризации от обычной.
Таким образом, вместо нелинейного элемента с характеристикой (6) можно рассматривать эквивалентное линейное звено, поведение которого описывается уравнением (12). Оно может быть представлено в изображениях по Лапласу
. (13)
Для гармонически линеаризованного нелинейного элемента можно записать передаточную функцию
, (14)
и получить из нее при выражение для частотной характеристики
. (15)
Для однозначной статической нелинейной характеристики коэффициент
q2 (A) = 0,
и вместо (15) получим
, (16)
Коэффициенты гармонической линеаризации типовых статических нелинейных звеньев приводятся в литературе.
Пример. Определить эквивалентную передаточную функцию нелинейного звена, которое представляет собой идеальное реле (рис. 5).
Поскольку идеальное реле имеет однозначную статическую характеристику, выражение для его передаточной функции (16) имеет вид
,
где коэффициент q1(A) определяется как
.
Далее, учитывая полученные выражения для передаточной функции гармонически линеаризованного Рис. 5
нелинейного элемента (14), рассмотрим соотношения метода гармонического баланса.
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 649;