Лемма Лоренца. Теорема взаимности

Равенство (35) называют леммой Лоренца. На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаимности, имеющая фундаментальное значение. Предположим, что источники первой группы сосредоточены в конечном объеме , а источники второй группы - в конечном объеме Области и пространственно разделены (не пересекаются друг с другом).

Рис.49

где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Соотношение (46) является интегральной формулировкой леммы Лоренца.

Распространим интегрирование в уравнении (46) на все пространство. При этом поверхность S уйдет в бесконечность. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что амплитуды векторов убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем (см. теорему единственности). Тогда при левая часть уравнения (36) обратится в нуль. Учитывая, кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токов отличен от нуля только в объеме а вектор -только в объеме получаем

В полученном выражении -вектор напряженности электрического поля, создаваемого в точках объема токами распределенными в объеме , а - напряженность электрического поля, создаваемого в точках объема токами, протекающими в объеме

Соотношение (37) является одной из наиболее общих математических формулировок теоремы взаимности.

Выясним некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы. Предположим, что объемы и и распределение токов в них совершенно одинаковы. В этом случае векторы также будут одинаковыми. Например, пусть имеются две одинаковые антенны 1 и 2 с одинаковым распределением токов. Тогда вне зависимости от того, является ли разделяющее антенны пространство однородным или неоднородным, можно утверждать, что антенна 1 создает у антенны 2 такое же поле, какое антенна 2 создает у антенны 1.

На основе теоремы взаимности можно также доказать, что диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве передающей. Применение теоремы взаимности в ряде случаев позволяет существенно упростить решение электродинамических задач.

При доказательстве теоремы взаимности предполагалось, что среда, заполняющая рассматриваемое пространство, является линейной и изотропной. Предположим теперь, что среда, оставаясь линейной, является анизотропной. В этом случае параметры (оба или по крайней мере один из них) будут тензорами.

Тогда вместо уравнения (35).получаем

Теорема взаимности будет верна только в том случае, если выполняются равенства

Для этого необходимо, чтобы были симметричными тензорами Это условие выполняется для большинства кристаллических сред. Однако в случае гиротропных сред (например, ферритов) тензор является антисимметричным и разность оказывается отличной от нуля. Поэтому для гиротропных сред теорема взаимности несправедлива.