Двойственная задача линейного программирования
Из теории двойственности следует, что с каждой задачей линейного программирования сопряжена другая линейная задача, называемая двойственной. По отношению к ней первоначальная задача называется исходной или прямой.
Диалектическое единство исходной и двойственной задач заключается в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.
Прямая задача может быть записана следующим образом:
(1)
(2)
(3)
Переменные двойственной задачи yi называют объективно обусловленными оценками, или двойственными оценками. Модель двойственной задачи имеет вид:
(4)
(5)
(6)
Каждая из пары двойственных задач является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако в оптимальном плане одной из задач находится решение двойственной к ней задачи.
Двойственная по отношению к исходной задача составляется по следующим правилам:
1) Целевая функция исходной задачи (1) формулируется на максимум, а целевая функция двойственной задачи (4) – на минимум. В задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид , а в задаче на минимум – вид .
2) Матрица ,
составлена из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи (2), аналогичная матрица в двойственной задаче получается транспортированием:
.
3) Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной задачи (2), а число ограничений в системе двойственной задачи (5) – числу переменных в исходной задаче.
4) Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи (4) являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи (2), а правыми частями в ограничениях двойственной задачи (5) – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи (1).
5) Каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения. При этом ограничению, записанному в виде неравенства , соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной – в виде неравенств, причем в последней переменные могут быть и отрицательными. В симметричных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной задачи задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.
Первая теорема двойственности утверждает:
1. Если прямая и двойственная задачи имеют оптимальные решения, то значения целевых функций в их оптимальных планах совпадают: max f( ) = min g( ) .
2. Если прямая задача имеет допустимые решения, а ее целевая функция не ограничена сверху, то двойственная задача не имеет допустимых планов.
3. Если двойственная задача имеет допустимые решения, а целевая функция не ограничена снизу, то прямая задача не имеет допустимых решений.
4. Обе из рассматриваемых задач не имеют допустимых решений.
Вторая теорема двойственности утверждает правила дополняющей нежесткости. Пусть = (xl,x2,...,xn) – допустимое решение прямой задачи (1)-(3), а = (y1, y2,...,ym) – допустимое решение двойственной задачи (4)-(6). Для того чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач (1)-(3) и (4)-(6), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:
, (7)
. (8)
Условия (7) и (8) позволяют по данным оптимального решения одной из взаимодвойственных задач найти оптимальное решение другой задачи.
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 1723;