Энергия. Энергия — важнейшая величина, характеризующая состоя­ние системы, способность системы совершать работу

Энергия — важнейшая величина, характеризующая состоя­ние системы, способность системы совершать работу, переходя из одного состояния в другое.

Рис.4 Рис.5

Например, катящийся шар, сталкиваясь с некоторым телом, переместит его и, следовательно, совершит работу. Значит, ка­тящийся шар обладает энергией (рис. 4). Растянутая пружина, сокращаясь, будет перемещать свои витки (или другое тело) и, следовательно, совершит работу (рис. 5). Тело, приподня­тое над землей на некоторую высоту, будучи освобожденным от связи, начинает падать, т.е. перемещаться и, следовательно, совершать работу. Значит оно обладает энергией (рис. 6).

Отметим, что шар, тело и пружина обладают энергией не­зависимо от того, совершают они в данный момент работу или нет. Важно, что они обладают способностью совершать работу.

Обычно за конечное состояние системы принимают такое, в котором она уже не может совершать работу за счет данного вида энергии.

Из приведенных примеров видно, что если механическая энергия связана с движением системы или ее частей, то это кинетическая энергия {W_K). Если энергия связана с взаимо­положением тел или частей одного и того же тела, то это потенциальная энергия (W_n).

Рис. 6. Рис.7

Работа, совершаемая системой при переходе из одного со­стояния в другое, равна разности энергий системы в исходном (начальном) и конечном состояниях

A =W_o — W_n. (1)

Из формулы (1) следует, что энергия измеряется в джоулях.

1. Кинетическая энергия поступательно движущегося тела. Пусть под действием тормозящей силы F тело массой т замедлило на пути S свою скорость от оо До v„, имея ускорение о в течение промежутка времени t (рис. 7).

Тогда можно записать, что

где

. (2)

Сопоставляя формулы (1) и (2), получим выражение кинетиче­ской энергии тела

(3)

По формуле (3) определяется кинетическая энергия в классиче­ской механике, а релятивистское выражение для кинетической энергии определяется формулой (3а)

(3a)

Рис. 8. Рис.9.

где то — масса тела, покоящегося относительно наблюдателя (масса покоя); » — скорость движения тела, значение которой соизмеримо со скоростью света (с), с = 299793 км/с 3-10⁸ м/с.

2. Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Пусть упруго деформированный стержень растянул­ся (удлинился) на величину х при первоначальной длине х (рис. 8).

После устранения деформирующей силы сила упругости на­чнет укорачивать стержень. Пусть это укорочение соверши­лось от деформации х₀ при силе упругости F₀ до деформации х_n, при силе F_n. Тогда работа силы упругости

По закону Гука F = . Поэтому =

=k( ) и

или (4)

После сравнения (4) и (1) получим выражение потенциальной энергии

. (5)

3. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле.

Пусть тела массой М и т (рис. 9) взаимно притягиваются по за­кону всемирного тяготения так, что переместятся от расстояния г₀ до г».

Разобьем перемещение на бесконечно малые отрезки dr и определим работу на одном таком отрезке:

Знак минус объясняется тем, что dA > 0 (система сама совер­шает работу), a dr < 0 (расстояние уменьшается).

Тогда вся работа

. (6)

Сравнивая равенство (6) с формулой (1), имеем выражение по­тенциальной энергии в поле тяготения

. (7)

При г = W_n = 0 — это максимум, так как с уменьшением г энергия W_a будет тоже уменьшаться.

4. Потенциальная энергия тела, приподнятого над зе­млей. Рассмотрим тело, приподнятое на небольшую высоту над землей h < R (рис. 10) (М — масса Земли, Я — ее радиус).

Согласно формуле (6),

В "земных" задачах потенциальную энергию W„ = -GMmjR обычно принимают за начало отсчета, так как дальнейшее сбли­жение тела т с Землей невозможно. Тогда

W_п = mgh. (8)

5. Закон сохранения и превращения энергии. В природе и технике повсеместно происходит превращение энергии из одних видов в другие: механической в электрическую (машинный ге­нератор тока), электрической в световую (лампа накаливания) и т.п. Но опыт показывает, что полная энергия изолированной системы остается при этом постоянной

W_полн = const. (9)

Итак, энергия может переходить из одних видов в другие, но полная энергия изолированной системы остается постоянной — закон сохранения и превращения анергии.

При всех происходящих в природе процессах энергия не исчеза­ет и не возникает вновь, а лишь передается от одних матери­альных объектов к другим, превращаясь из одной формы в другую в равных количествах.

В механике происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, и наоборот. В силу своей всеобщности закон сохранения не выводится в общем виде, но может быть подтвер­жден любым конкретным процессом (см. рис. 11).

Рассмотрим, например, случай падения тела с некоторой вы­соты на землю. Запишем полную энергию тела в первом и вто­ром состояниях (на высотах h₁ и h₂ соответственно).

W₁=W_n1+W_k1=mgh₁+0= mgh₁ ,

W₂=W_n2+W_k2=mgh₂+ , v²=2g(h₁-h₂),

W₂= mgh₂ + 2g(h₁-h₂)= mgh₂+mgh₁ - mgh_{2 =} mgh_1.

Видим, что W₁ = W₂ всегда, поскольку состояние (2) взято про­извольно.

Закон сохранения и превращения энергии раскрывает физи­ческий смысл понятий энергии и работы. Рассматривая движе­ние материи в широком смысле этого слова как всякий процесс, всякое изменение материи (а не только ее механическое переме­щение), можно сказать, что энергия есть количественная и каче­ственная характеристика различных форм движения материи, о работа — количественная характеристика превращения одних форм движения материи в другие.

Таким образом, работа и энергия — различные физиче­ские величины, хотя они выражаются в одинаковых единицах (джоулях): [A] = [W] = Дж.

Лекция №5

Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Момент инерции тела

Моментом инерции материальной точки относительно оси ОО' называется скалярная физическая величина, равная произ­ведению массы материальной точки т на квадрат расстояния г до оси (рис. 1)

I= mr². (1)

Момент инерции тела I равен сумме моментов инерции I_j со­ставляющих его материальных точек (рис. 2)

(2)

Здесь п — число материальных точек, составляющих тело.

Если n , а масса каждой из материальных точек т_j , то сумма в формуле (2) заменяется интегралом по объему тела

(3)

Здесь — плотность тела.

Пример. Вычисление момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно к стержню

Пусть т - масса стержня, l - его длина, т/l - линейная плотность стержня, т.е. масса, приходящаяся на единицу длины стержня. Тогда имеем dm = {m/l)dr (рис. 3).

.

Аналогичные расчеты моментов инерции других тел относительно оси, проходящей через центр масс тела дают

I=mR²/2 – для диска и цилиндра радиуса R, (5)

I=2mR²/5 – для шара радиуса R, (6)

I=ml²/12 – для стержня длиной l (7)

Как показывают приведенные формулы, момент инерции тела зависит от его массы m размера тела г или формы тела (шар или цилиндр) и положения оси.