Главные напряжения

Рассмотрим общий случай воздействия на элемент тела напряжений .

Для этого сложим все 3 формулы и получим :

Эти формулы подобны формулам для осевых и центробежных моментов инерции для повернутых осей. Поэтому аналогично вводятся и понятия главных напряжений и главных площадок. Если вычислить для разных углов, то можно найти максимальное и минимальное . Эти напряжения называются главными.

Обозначается:

Главные площадки – это сечения, на которых экстремальны.

Угол , который определяет положение главных площадок, получаем по теореме Ферма: при должно быть

Отсюда находим .

Аналогично теории геометрических характеристик можно видеть, что на этих новых площадках касательных напряжений не будет, т.е.

.

Следствие:

Всегда можно найти в теле такое положение малого элемента, в котором он только растягивается или сжимается, причем эти напряжения будут экстремальными.

Примечание: согласно свойствам , если взять угол , то условие снова удовлетворится. Таким образом, существуют 2 главные площадки под углами и .

Вычисление

В некотором теле найдем главные площадки для малого элемента.

Рис.11.7 Рис.11.8

Оси, ортогональные главным площадкам, обозначим . На главных площадках

Рассмотрим площадку под углом . Используя формулу для при получим:

Поскольку , то

Таким образом, возникает на площадках, расположенных под углом к главной площадке

Можно показать, что в случае, когда действуют лишь напряжения значения главных напряжений можно вычислять даже не зная положения главных площадок по формулам :

Тогда: .