Токи, ограниченные пространственным зарядом

11.1 Закон «трех вторых»

Рассмотрим закономерности прохождения потоков заряженных частиц (электронов или ионов) между электродами простейшей двухэлектродной вакуумной системы: эмиттерколлектор (катод-анод).

Состояния заряженных частиц в какой-либо системе определяются их взаимодействиями. При движении заряженных частиц в вакууме такими взаимодействиями являются, во-первых, кулоновские взаимодействия их друг с другом и, во-вторых, взаимодействия их с внешними электрическими или магнитными полями. Специфические квантовомеханические взаимодействия, например, учитываемые принципом Паули, практически никакой роли не играют из-за малых концентраций частиц в межэлектродном пространстве диода. Волновые свойства частиц здесь также можно не учитывать, так как изменения потенциалов в полях, имеющих место в межэлектродных промежутках на отрезках протяженностью в длину дебройлевской волны, очень малы.

В первую очередь, рассмотрение закономерностей движения заряженных частиц мы проведем на примере термоэлектронов. Однако все полученные выводы будут применимы и к анализу движения ионов с тепловыми начальными скоростями. В последнем случае вследствие значительно большей массы ионов по сравнению с массой электронов при тех же полях в межэлектродном пространстве скорость движения ионов значительно меньше, а поэтому объемная плотность заряда при равных плотностях электронного и ионного тока значительно больше в случае ионов, чем в случае электронов.

Начнем с рассмотрения качественной картины движения электронов. Предположим вначале для простоты, что система состоит из электрически соединенных плоских эмиттера (катода) и коллектора (анода). Направим ось х перпендикулярно к плоскостям катода и анода, а оси у и z параллельно им и поместим начало координат в плоскости катода. Расстояние между катодом и анодом обозначим через d. Пусть протяженность электродов в направлении осей у и z много больше d. Ясно, что все физические величины для этого случая зависят только от одной переменной х,т. е. рассматривается одномерная задача.

Распределение по составляющей v_x₀ начальной скорости вдоль оси х для термоэлектронов подчиняется закону Максвелла:

, (11.1)

где dv  количество электронов, проходящих через единицу поверхности катода, с составляющей скорости по оси х,лежащей в интервале от v_x₀до v_x₀ + dv_x₀; а'  постоянная, т масса электрона, k  постоянная Больцмана, Т  абсолютная температура. Обозначим часть начальной кинетической энергии, связанную с компонентой скорости по оси х,через W_x₀:

. (11.2)

Тогда из (11.1) имеем

, (11.3)

где а  константа, равная а'/т. Из (11.3) легко получить среднее значение величины W_x₀в потоке:

(11.4)

Например, при Т = 1000°К =0,085 эв,т. е. малы и составляют сотые или десятые доли эв. Это позволит в дальнейшем при приближенном рассмотрении задачи положить W_x₀=0.

В случае электронов будем отсчитывать потенциалы от потенциала катода. Тогда наружная разность потенциалов V_нпросто будет равна анодному потенциалу V_А. Положим, что внешняя разность потенциалов V_н= V_Aтакова, что внутренняя разность потенциалов V_вравна нулю (но ток, протекающий через диод, не равен, вообще говоря, нулю). В этом разделе током с анода мы будем пренебрегать. Объемный заряд индуцирует на катоде и на аноде положительные поверхностные заряды с равными плотностями s_оК и s_оА, на которых начинаются силовые линии электрического поля, создаваемого в межэлектродном пространстве движущимися электронами. Так как эти силовые линии кончаются на отрицательных зарядах в разных точках объема, густота силовых линий, а следовательно, и абсолютная величина напряженности электрического поля наибольшими будут у катода и анода. При этом (0) > 0, тогда как (d)< 0. Так как E(х) непрерывная функция, она проходит через нуль при некотором значении х = х_т. Но тогда при х = х_т имеется минимум потенциала V(х_т)= V_m, а у потенциальной энергии электрона eV(x)  максимум.

Таким образом, электроны, движущиеся в межэлектродном пространстве, создают потенциальный барьер, который со своей стороны влияет на их движение. Очевидно, что если у эмитируемого электрона W_x₀< eV_m,то такой электрон не сможет преодолеть этот барьер. При W_x₀> eV_m электрон преодолеет задерживающее поле и достигнет анода. Таким образом, лишь часть электронов, эмитируемых катодом, достигнет анода. Обозначим плотность этого тока, протекающего через диод, j, а плотность тока, соответствующего прохождению через диод всех термоэлектронов эмитируемых катодом, через j_s (сокращенно будем называть j током диода, a j_s  током насыщения или током эмиссии катода). При V_в=0имеем j < j_s. Отметим, что наличие минимума потенциала в промежутке катод  анод является характерным свойством поля объемного заряда r(x); оно сохраняется и при V_в¹0. В случае V_в¹0 напряженность E(х)и потенциал V(x)электрического поля в межэлектродном пространстве складываются из напряженности E_r(х)и потенциала V_r(х)поля объемных зарядов и напряженности и потенциала поля внутренней разности потенциалов, т. е.:

, (11.5)

. (11.6)

Для каждого значения V_вустановится свое поле объемных зарядов V_r(х). Если E_в < 0, то знаки E_rи E_в у катода противоположны, тогда как у анода одинаковы. Поэтому даже в случае поля E_в,ускоряющего электроны от катода к аноду, напряженность результирующего поля у катода E(0) может быть отрицательна, равна нулю или положительна. Рассмотрим режимы работы диода во всех этих трех случаях.

1) E (0) < 0 и, следовательно, учитывая (11.5), E_r(0) <  . Так как наибольшая у катода, то во всем межэлектродном пространстве E(х) < 0, так что всюду между катодом и анодом на электроны действует только ускоряющее поле. Результирующая кривая eV(x)максимума не имеет. Схематически вид зависимостей , и E(х),а также eV_r(x), eV_в(x)и eV(x)показан на рис. 11.1, а и б. Очевидно, что при E(0) < 0 через диод протекает ток j, равный току насыщения катода j_s. Будем называть этот режим режимом тока насыщения.

Рис. 11.1

2) E(0) > 0 . Это означает, что E_r(0) >  . Так как по мере удаления от катода E_r(х)уменьшается и проходит через нуль, кривая E(х)также будет проходить через нуль, а зависимость eV(х)  иметь максимум eV_m (рис. 11.2, а и б). В этом случае анода достигнут только те электроны, энергии W_x₀которых достаточны для того, чтобы преодолеть потенциальный барьер; через диод протекает ток j, меньший j_s. Такой режим; работы (j < j_s) будем называть режимом ограничения тока объемным зарядом.

Рис. 11.2

3) E(0) = 0. Это означает, что E_r (0) =  . Тогда при всех х > 0 напряженность поля E (x) < 0. Кривая eV(х) имеет максимум лишь при х = 0 (рис. 11.3, а и б). При этом j = j_s. Очевидно, что режим тока насыщения в данном диоде наблюдается при больших V_в, чем режим ограничения тока объемным зарядом. В последнем режиме очевидно, что чем ниже V_в, тем меньше j по сравнению с j_s. Случай E(0) = 0, соответствующий некоторому значению V_в = V_в^*,разделяет указанные две области V_в. Хотя при этом j = j_s, чтобы отличить этот режим от режима, при котором (0) < 0, будем его называть переходным.

Рис. 11.3

Из приведенных качественных рассуждений вытекает, что вольт-амперная характеристика диода  j(V_в)  имеет вид, схематически показанный на рис. 11.4.

Рис. 11.4

11.2 Общая схема расчета самосогласованных полей
и объемных зарядов

Выпишем сначала необходимые соотношения в общем виде. Пусть катод и анод имеют произвольную форму. Начало отсчетавыберем в некоторой произвольной точке О. Тогда основными уравнениями будут следующие:

1. Уравнение Пуассона, связывающее потенциал электрического поля с плотностью объемных зарядов:

. (11.7)

2. Уравнение, связывающее элементарную плотность тока dj,создаваемую в некоторой точке пространства группой электронов, имеющей в этой точке скорость v_i,со скоростью v_i и плотностью объемного заряда dr_i,создаваемого этой группой электронов:

. (11.8)

Очевидно, что

(11.9)

, (11.10)

где интегрирование надо провести по всем группам электронов, проходящих через точку r.

3. Закон сохранения энергии

, (11.11)

где v_i₀  начальная скорость электрона.

В общем виде выражение для электрического поля в диоде не найдено. Задача решена для некоторых частных, наиболее простых и в то же время представляющих наибольший практический интерес, случаев. Во-первых, задача решена для электронов нулевых начальных энергий в случаях плоской, цилиндрической и сферической конфигураций электродов и, во-вторых, для электронов с максвелловским распределением скоростей в случае плоских электродов.

Прежде всего рассмотрим те упрощения уравнений (11.7)  (11.11), которые следуют из пренебрежения начальными энергиями электронов. Из предположения v_i₀=0 вытекает равенство энергий всех электронов, движущихся в точке r и одинаковость направлений их движения. Вынося одинаковое для всех электронов значение скоростей v_i (r) из-под интеграла в (11.10) и отбрасывая в (11.11), получим

, (11.12)

, (11.13)

. (11.14)

При этом векторное равенство (11.13) можно привести к скалярному:

, (11.15)

в котором для того, чтобы получить правильный знак , необходимо иметь в виду, что для электронов (или отрицательных ионов) j и v имеют разные знаки, тогда как для положительных ионов  одинаковые знаки.