Найпростіші властивості границь векторних послідовностей

Теорема 3. Якщо має границю, то така границя одна.

Доказ. Самостійно.

Визначення 6. Послідовність називається обмеженою, якщо існує така куля , яка містить всі елементи цієї послідовності, тобто для елементів послідовності виконується нерівність .

Теорема 4. Нехай збігається, тоді - обмежена послідовність.

Зауваження. Не будь-яка обмежена послідовність є збіжною.

Теорема 5 (про покоординатну збіжність). Для того, щоб , збігалася до точки необхідно і достатньо, щоб для кожного значення відповідна числова послідовність координат .

Доказ. Необхідність. Нехай . За визначення границі векторної послідовності це означає, що

для , що для виконується: .

Візьмемо довільно конкретне значення . Нехай . Тоді

,

а це за визначенням границі числової послідовності і означає, що .

Достатність. Нехай для : .

,

,

...

.

Нехай . Тоді для і для всі попередні нерівності виконуються одночасно, а тоді:

,

тобто ,

що говоре про те, що .

Теорема 6. Нехай , - векторні послідовності в просторі , і , . Тоді послідовності , (тут - скалярний добуток ) також є збіжними і

, .