Метод замены переменной (подстановки)

Для вычисления интеграла сделаем замену , где выбирается так, чтобы после преобразований данного интеграла и новой переменной , получился интеграл, который берется непосредственно.

Предварительно находим , тогда

. (4)

После нахождения первообразной необходимо вернуться к первоначальной переменной « ».

Пример 7.

.

Пример 8.

.

Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой

, ; ;

, ; ;

, ; .

Пример 9.

,

т. к. .

Формулой (4) часто пользуются справа налево:

, . (5)

При этой замене надо помнить, что в составе подынтегрального выражения должен быть дифференциал функции .

Такой метод называется под знак дифференциала

. (5’)

При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.

Таблица дифференциалов

1. , – const, ,

2.

3.

4. , , ,

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11. ,

Пример 10.

Согласно таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим , , , .

.

Пример 11.

По таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим

, , , .

.

Пример 12. – можно найти двумя способами:

1 способ.

;

2 способ. .

Пример 13.

1 способ.

;

2 способ.

.

Пример 14.

. (табл. интегр., 3, )