Замена независимых переменных в выражении, содержащем частные производные.

Если в дифференциальном выражении

положить , (8)

где и новые независимые переменные, то частные производные определяются из следующих уравнений:

, .

 

Пример 6. Уравнение колебаний струны преобразовать к новым независимым переменным и .

Решение. Выразим частные производные от по и через частные производные от по и .

Очевидно,

,

.

Дифференцируем вторично, применяя ту же формулу

,

.

Подставив в уравнение, получим

Пример 7.Преобразовать уравнение , приняв за новые независимые переменные , и за новую функцию .

Решение. Выразим частные производные и через частные производные и . Для этого продифференцируем данные соотношения между старыми и новыми переменными:

.

С другой стороны,

.

Поэтому

или

.

Отсюда

и, следовательно,

и .

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим

или .

 








Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 5120;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.